第十三章函数列和函数项级数

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1、第十三章函数列与函数项级数第一节一致收敛性第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质一、内容简介本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。二、学习要求1.了解用多项式来逼近函数的思想；2.正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质；3.掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass判别法和A-D判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。三、学习的重点和难点重点：函数项级数的一致收敛性,初等函数的幂级数展开;难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别,四、研究级数的目的借助级数表示很多有用的非初等函数。解微

2、分方程。利用多项式来逼近一般的函数。实数的近似计算。第一节一致收敛性设是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，简记为{fn}或fn,n=1,2,...设x0∈E,将x0代入上述函数列，可得数列一、函数列及其一致收敛性若此数列收敛，则称x0为函数列(1)的收敛点，若此数列发散，则称函数列(1)在x0发散．使函数列(1)收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列(1)的收敛域．若函数列(1)在数集D⊂E上每一点都收敛，则称函数列(1)在数集D上收敛．记极限函数为f,则有此极限的ε–N的定义是：对任何x∈D,任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N时，总有

3、fn(x)–f(

4、x)

5、<ε其中N既与ε有关也与x有关．上的函数列，证明它的收敛域是是且有极限函数证任给（不妨设），当时，由于故只要取则当时，就有(1,1)1例2定义在上的函数列，由于对任何实数，都有故对任给的，只要就有所以函数列的收敛域为无限区间函数极限.对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即连续性、可微性、可积性．为此讨论函数列的一致收敛性．定义1设函数列{fn}与函数f都在数集D上有定义,若对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N时，对任何x∈D,都有

6、fn(x)–f(x)

7、<ε则称{fn}在D上一致收敛于f，记为若函数列{fn}在D上一

8、致收敛，则必在D上每一点都收敛，反之，不一定成立．在(–∞,+∞)上一致收敛．证对任给的ε>0,取N=1/ε,当n>N时，对任何x∈(–∞,+∞),都有所以函数列在(–∞,+∞)上一致收敛于0．例3证明函数列函数列{fn}在D上不一致收敛于f的定义：若存在ε0>0,对任何N>0,都存在n0>N，且存在x0∈D,使得

9、fn0(x0)–f(x0)

10、≥ε0则称{fn}在D上不一致收敛于f．{xn}{xn}例4证明函数列{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．证取对任何正整数N，当n>N时，取则有所以{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{f

11、n}在D上一致收敛于f的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0，使得当n,m>N时，对任何x∈D,都有

12、fn(x)–fm(x)

13、<ε．由上确界的定义，亦有在判断函数列是否一致收敛上定理13.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数),如例2,由于所以在上,例5定义在上的函数列习题二函数项级数的一般概念1.定义:现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.2.收敛点与收敛域:例6求下列函数项级数的收敛域函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)函数项级数的一致收敛性定义如下：定义设{Sn(x)

14、}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数∑un(x)在数集D上一致收敛于函数S(x)，或称∑un(x)在D上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理可推出相应的函数项级数的定理：4.一致收敛性定义xyo几何解释:例7解余项的绝对值例8研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意一个自然数因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．(1,1)1小

15、结一致收敛性与所讨论的区间有关．5.内闭一致收敛（1）概念（2）性质定义若对于任意给定的闭区间定理13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑un(x)在D上一致收敛的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0,使得当m>n>N时，对任何x∈D,都有

16、Sm(x)–Sn(x)

17、<ε．或三.一致收敛性判别1．用定义2.一致收敛的柯西准则推论函数项级数∑un(x)在D上一致收敛的必要条件是：函数列{un(x)}在D上一致收敛于零．设函数项级数∑un(x)在D上的和函数为S(x),称Rn(x)=S(x)–