解析几何精编讲义2018年北京

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1、一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角：αα2、直线的斜率：；注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式：①点斜式：；②斜截式：；③一般式：；④截距式：；⑤两点式：注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件：，，；.5、相关公式：①两点距离公式：，，35；②中点坐标公式：，，则线段的中点；③点到直线距离公式：，，则点到直线的距离；④两平行直线间的距离公式：，，则平行直线与之间的距离；⑤到角公式：（补充）直线到直线的角为，，则.（两倾斜角差的正切）二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：；确定圆的两个要素

2、：圆心，半径；2、圆的一般方程：，（）；3、点与圆的位置关系：点在圆内；点在圆上；点在圆外；4、直线与圆的位置关系：从几何角度看：令圆心到直线的距离为，35相离；相切；相交；若直线与圆相交于两点，，则弦长；从代数角度看：联立与圆，消去（或）得一元二次方程，，相离；相切；相交；相交时的弦长.5、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含.圆；圆，根据这三个量之间的大小关系来确定：，，；相离；外切；相交；内切；内含；6、两圆①；圆②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法：①式②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程.35三、椭圆：1、（第一）定义：；2、椭

3、圆标准方程及离心率：焦点在轴上的椭圆标准方程为：；长半轴；：短半轴；半焦距.椭圆中，，的关系：；椭圆的离心率.3、弦长公式：直线与椭圆交于两点，，则相交时的弦长.弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：椭圆上的两点，，弦的中点，35则.5、焦点三角形面积：椭圆的两个焦点分别为、，点是椭圆上除左、右端点外的一点，令，则：.该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系：联立与椭圆，消去（或）得一元二次方程，，相离；相切；相交；7、与点坐标相关的面积公式：，，，点，，

4、不在一条直线上，则：.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在轴上的双曲线标准方程为：；35实半轴；：虚半轴；半焦距.双曲线中，，的关系：；双曲线的离心率；焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为；焦点到渐近线的距离.焦点在轴上的双曲线相关性质可以类比。3、弦长公式：直线与双曲线交于两点，，则相交时的弦长.4、中点弦结论（点差法）：双曲线上的两点，，弦的中点，则.5、焦点三角形面积：双曲线的两个焦点分别为、，点是双曲线上除左、右端点外的一点，令，则：.6、直线与

5、双曲线位置关系：①当直线与双曲线的其中一条渐近线重合时，显然直线与双曲线无交点；②当直线与双曲线的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点，35此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）；③当直线与双曲线的渐近线既不平行也不重合时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去（或）得一元二次方程，，相离；相切；相交；五、抛物线：1、定义：（到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.抛物线图12、标准方程：（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。）焦点，准线，离心率.3、常见性质：①普通的弦长公式：直线与抛物

6、线相交于两点，，则相交时的弦长.抛物线图235②过焦点的特殊弦长公式及与：（i）若弦过焦点，则弦长（为倾斜角）；（ii），.③过抛物线的顶点作两条互相垂直的射线、分别与抛物线交于两点，，弦与轴交于点，则，即：.反之亦然，即：若，则.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。）设是过抛物线焦点的弦，，，如图（抛物线图2），则：①；②；③以为直径的圆与准线相切；④；⑤以或为直径的圆与轴相切.5、直线与抛物线的位置关系：①若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；②若直线与抛物线的对称轴不

7、平行，也不垂直，则根据判别式的符号来确定交点个数；③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。35六、圆锥曲线的统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，这样的点的轨迹为圆锥曲线。（i）若，轨迹为椭圆.例如：定点为左焦点，定直线为左准线，离心率；（ii）若，轨迹为抛物线.（iii）若，轨迹为双曲线.七、圆锥曲线（椭圆与双曲线、圆）的第三定义到两定点,的斜率之积为定值.例如：椭圆，左、右端点，，椭圆上除左、右端点外任意一点，则.八、椭圆、双曲线及抛物线的光学性质.圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方

8、法：①直接法：（设出所求