金典教（学）案-辅助角公式

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1、WORD可编辑文档辅助角公式教学应注意的的几个问题在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式=或=·,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认

2、识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证：sin+cos=2sin（+）=2cos（-）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见,sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢?2.辅助角公式的推导例2化为一个角的一个三角函数的形式.

3、解:asin+bcos=(sin+cos),①令=cos,=sin,则asin+bcos=(sincos+cossin)技术资料专业分享WORD可编辑文档=sin(+),(其中tan=)①令=sin,=cos,则asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos,=sin?让学生费解.二是这种“规定

4、”式的推导,学生难记易忘、易错!二.让辅助角公式=来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.r图1O的终边P(a,b)x首先要说明，若a=0或b=0时，已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=,由三角函数的定义知sin==,cos=.技术资料专业分享WO

5、RD可编辑文档所以asin+bcos==cossin+sincos=.(其中tan=)图2rOxy的终边P(b,a)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三角函数的定义知sin==,cos==.asin+bcos==.(其中tan=)例3化为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP=r==2.sin=,cos=.∴=2cossin+2sincos=2sin().tan=.,∴

6、=2sin().经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者技术资料专业分享WORD可编辑文档asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成(sin+cos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角过P点.则,.满足条件的最小正角为,解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设

7、角过P点.则,.满足条件的最小正角为,三.关于辅助角的范围问题由中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知技术资料专业分享WORD可编辑文档．其中，，的具体位置由与决定，的大小由决定．类似地，，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为，则由诱导公式有，其中，，的位置由和确定，的大小由确定．注意：①一般地，；②以后没有特别说明时，角（或）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的

8、是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为的形式或的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５　化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．（１）；（２）．解：　（１）技术资料专业分享WORD可编辑文档　　　（２）在本例第（