数学建模大学课件1

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1、数学建模主讲张曙光副教授孙中品讲师第一讲数学建模概论一数学建模与数学建模竞赛二数学建模与我们的生活三数学建模概论一数学建模与数学建模竞赛数学建模课程数学建模竞赛二数学建模与我们的生活1.椅子放稳问题2.手机套餐选择3.步长问题雨中行走问题4.最短线路问题5.贮存(进货)模型化工车间排气模型决策模型-年金分配6.公平席位分配7.传染病模型减肥模型赝品的鉴定8.循环比赛的名次9.田忌赛马10.渡河问题数学建模示例1.椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面

2、;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g

3、(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗造的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f()

4、,g()的确定3走路步长的选择问题提出模型建立模型求解请你思考问题提出人在走路时所作的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以作功最小（即消耗能量最小）为原则，走路步长选择多大为合适？　　模型假设m-----人体质量,m’-----每条腿的质量,s-----步长,n-----单位时间内走的步数,g-----重力加速度,v-----走路速度(设为匀速),l-----腿长,θ-----腿与垂线夹角，Δ-----人体重心在走路时上下移动的幅度,Wf-----单位时间内消耗的势能,Ws-----单位时间内消耗的动能,走路时把腿视为刚体棒，假设腿的质

5、量集中在脚上。模型建立如图可知，∴　　另一方面，假设腿的质量集中在脚上，而脚的运动速度为v。∴　　因此，总能量消耗为模型求解为了使能量消耗最小，应有　　　　　　　　　　约去v/4得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　             　　例如，某人m=65kg,l=1m，m’=10kg，v=1.5m/s，则(米/步)n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)模型基本上符合实际。请你思考观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运

6、动方式。设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。试证明，鱼沿折线ACB运动的能量消耗与沿水平线AB运动的能量消耗之比为　　　　　　　　　　　另据实际观测得α=11o20’,k=3.此时β为多大时p最小？参考答案5.存贮模型问题与假设建模与求解EOQ注记问题与假设问题提出　　通常工厂要订购各种原材料存在仓库里供生产用；　　商店要成批地购进各种商品供零售用；　　　　那么每隔多长时间订货一次、每次订货

7、量为多少最合算？　　模型假设1．每隔T天订货一次，即订货周期为T天.2．每次订货量为Q吨.3．每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）.4．每天对货物的需求量为r吨.5．货物每吨每天的库存费用为C2元.6．货物每天每吨的缺货费用为C3元（因缺货而造成的损失）.7．t------时间，q--------库存量，C------总费用.建模与求解总费用=订货费+库存费+缺货费(1)不允许缺货的情形(2)允许缺货的情形总费用C=C1+C2TQ/2总费用C=C1++（Q*为最佳订货量）　　　　（Q