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1、精品文档高中理科数学函数练习题两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在将y表示成x的函数；讨论中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.对城A和城
2、B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解法一:如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?其中当x?时，y=0.065,所以k=所以y表示成x的函数为y?222016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25精品文档4k?x2400?x249?2x400?x89?18x4?8249?y?2?,y’??3?,x2x32x400?x24222令y’?0得18x?8,所以x?160,即x?,当0?x?时,18x4?82,即y’?0所以函数为单调减函数,当?x?20时,18x4?82,即y’?0所以函数为单调增函数.所以当x?时,即当C点到城A的距离
3、为时,函数y?解法二:同上.设m?x,n?400?x,则m?n?400,y?2249?有最小值.2x400?x49?,所以mn2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25精品文档4949m?n14n9m11当且仅当y????[13?]??mnmn400400mn400164n9m?n?240即?时取”=”.?m?160mn?下面证明函数y?49在上为减函数,在上为增函数.?m400?m设04949??m1400?m1m2400?m2?94499?)???m1m2400?m1400?m2m1m24?9m1m249,?]?m1m2m1m2?[因为04×240×240m1m2
4、4?9m1m2?0,m1m22016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25精品文档所以4?9mm4912?0即y1?y2函数y??在m1m2m400?m上为减函数.同理,函数y?49在上为增函数,设160m400?my1?y2?4?9m1m24949???m1400?m1m2400?m2m1m2因为16009×160×160所以4?9m1m2?0,m1m24?9mm4912?0即y1?y2函数y??在m1m2m400?m所以上为增函数.所以当m=160即x?”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当x?A和城B的总影响度2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–
5、独家原创25/25精品文档最小.命题立意:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.例题已知函数f?e32?x如a?b??3，求f的单调区间；若f在,单调增加，在,单调减少，证明???＜6.解：当a?b??3时，f?e，故32?xf’??e?x?e?x??e?x?3)??x?0;当?3?x?0或x?3时，f’?0.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25精品文档?x0），从而f在,单调增加，在设f?e，且曲线y＝f在x＝1处的切线与x轴平行。求a的值，并讨论f的单调性；证明：当??[0,x
6、x2?2]f?f?22解：f’?e.有条件知，f’?0，故a?3?2a?0?a??1.于是f’?e??e.故当x??时，f’＜0；当x?时，f’＞0.从而f在，单调减少，在单调增加.由知f在[0,1]单调增加，故f在[0,1]的最大值为f?e，最小值为f?1.从而对任意x1，x2?[0,1]，有f?f?e?1?2.而当??[0,x2x?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25精品文档2]时，cos?,sin??[0,1].从而f?f?2例题221.已知函数f?x?x?ax?b32．若函数f的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值；若函数f在区间上不单调
7、，求a的取值范围．．．．解析：由题意得f??3x?2x?a，解得b?0，a??3或a?1??f??a??3函数f在区间不单调，等价于导函数f?在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f?在上存在零点，根据零点存在定理，有f?f??0，即：[3?2?a][3?2?a]?0又?整理得：?0，解得?5?a??1练习已知函数f?e,其中a?R当a?0时，求曲线y?f在点)处的切线的斜率；当a?2
