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《递推数列常见类型和解法(李霓)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、递推数列常见类型及解法（江西省黎川第一中学李霓344600）一、形如an+1=an+f(n)的递推式：利用叠加法，将an=an-1+f(n-1),an-1=an-2+f(n-2)…a2=a1+f(1)各式相加得，an=a1+(n≥2)例如：（2003年高考题）已知数列{an}满足a1=1,且an=3n-1+an-1(n≥2),求①a2,a3②证明an=解：①略②法一：可用数学归纳法证明（略）法二：叠加法，由条件变形得an－an－1=3n-1（n≥2）a2－a1=3a3－a2=32∴a4－a3=33相加an－a1=3+32+…3n-1an==::an－an-1=3n-1二、形如an
2、+1=f(n)·an的递推式：利用迭代法（或叠乘法）将an=f(n-1)·an-1,an-1=f(n-2)·an-2,…a2=f(1)·a1各式代入（或相乘）得an=a1·f(1)f(2)f(3)…f(n-1)例如：已知数列{an}满足a1=1,an+1=an，求数列{an}的通项公式。解：（法一）：迭代法∵an+1=an∴an=an-1=·an-2=…··…a1=a1·n=n（法二）叠乘法5∵an+1=an即==∴=相乘=an=n·a1=n:=三、形如an+1=pan+q(p、q为非零且p≠1的常数)的递推式法一：待定系数法配凑为an+1－λ=p(an－λ)格式整理得：an+1
3、=pan+(1-p)λ确定λ=∵an+1=pan+q从而an+1－=p(an－)∴数列{an－}是首项为a1－,公比为q的等比数列，故an=(a1－)pn-1+例如：数列{an}中，b1=3，bn=2bn-1+1(n≥2)，求数列{bn}的通项公式。解：∵bn=2bn-1+1(n≥2)∴转化为bn+1=2(bn-1+1)(n≥2)∴{bn+1}是一个以b1+1为首项以2为公比的等比数列。∴bn+1=(b1+1)·2n-1=2n-1bn=2n+1－1法二：阶差法：an+1=pan+q相减an+1－an=p(an－an-1)(n≥2)再通过通项换元引入一个an=pan-1+q辅助数列
4、，将问题转化为基本数列——等差或等比数列问题。例如：已知数列{an},a1=,an+1=2an－1求其通项公式解：∵an+1=2an－1相减an+2－an+1=2(an+1－an)∴an+2=2an+1－15令bn=an+1－an(n=1,2,3…)，则b1=a2－a1=2－=∴bn+1=2bn∴数列{bn}是一个以为首项，2为公比的等比数列∴an=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…=a1+b1+b2+…bn-1=+=2n-2+1四、形如an+1=pan+f(n)（p≠0,且p≠1的常数）的递推式：法一：将上式两边同除以pn+1得=+令bn=则bn+1=bn+由此转为第一类
5、型递推式可求bn,继而进一步求an例如：已知数列{an}满足a1=9，an+1=3an+6×3n两端除以3n+1，得－=2，则{}是一个以==3为首项，以2为公差的等差数列∴=3+2（n－1）=2n+1an=3n(2n+1)法二：待定系数法确定m次多项式g(n)，使an+g(n)=p[an-1+g(n-1)]于是an+g(n)=[a1+g(1)]pn-1例如：已知a1=1，an=an-1+n2－15(n≥2)，求an解：引入待定系数a,b,c,使an+(an2+bn+c)={an-1+[a(n-1)2+b(n-1)+c]}，整理后有an=an-1+(－a)n2+(－a－b)n+a
6、－b－c与原递归式比较系数，得－a=1a=－3a+b=0b=12a－b－c=－15c=15故有an－3n2+12n+15=[an-1－3(n－1)2+12(n－1)+15]∴an－3n2+12n+15=(a1－3×12+12+15)()n-1∴an=25()n-1+3n2－12n－155五、形如an+1=pan+qan-1(p、q为非0常数)（n≥2）的递推式用待定系数法，可确定实数x1,x2满足an+1－x1an=x2(an－x1an-1)其中x1+x2=px1·x2=－q把x1,x2看作一元二次方程x2－px－q=0的两个根，容易求出x1,x2，从而数列{an+1－x1an}
7、是等比数列，转化为前面类型可求出an.例如：已知数列{an}中，a1=,a2=,且an+1=an－an-1(n≥2),求an.解：x1+x2=根据x1=1,x2=∴an+1=an－an-1(n≥2),可变形为x1·x2=－an+1－an=(an－an-1)(或变形为an+1－an=an－an-1)令bn=an+1－an∴bn=bn-1(n≥2)其中b1=a2–a1=∴bn=b1·()n-1=从而an+1－an=且a1=∴an=a1+=+=－六、形如an+1=f(n)an+g(n)
