浅谈泰勒公式及其应用

《浅谈泰勒公式及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、学号编号分类理工LUOYANGNORMALUNIVERSITY成人教育本科生毕业论文AdultEducationBachelor’sThesis论文题目浅谈泰勒公式及其应用DISSCUSSIONONTHEAPPLICATIONOFTAYLORFORMULA作者姓名指导教师所在院系专业名称完成时间数学系数学与应用数学年月口浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微枳分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、

2、估计误差、证明求解枳分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。关键词：泰勒公式求极限不等式行列式DISSCUSSIONONTHEAPPLICATIONOFTAYLORFORMULAAbstract:Taylorformulaisanimportantformulainmathematicalanalysisandalsooccupyaspaceforonepersoninthefunctionlimitandtheestimationerrorintheapproximatecalculationetc.Ithasuniqueadvantagesandi

3、mportantapplicationintheaspectsofcalculus.ThispaperfocusesontheTaylorformulainlimit,economicsandotheraspectsbygivingexamples.Keywords:Taylorformula;limiteconomic1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的惜况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当

4、极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。_x2lr.wcos^-e2例1求lim:ho%4分析：此题分母为如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。解：因为€X=1+X4X~+O（^X~）2!x2将X换成一i有2+^((-去)2)cosx=l+:—+o(x2!4!所以cosx-cII8z(x4XXlimcosx-e=[im_i2XX->o®+r?(x4)12例2求极限limcosx-eA'"2sinxA*解：因为分母的次数为4,所以只要把cosx,e2展开到x的4次幂即可COSX=1X~HX4

5、+O（X^）2!4!/了=1-么+丄(上)2+*4)cosx-^2lim』sin%)x4+(7(X4)x->0丄12带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具，使求函数的极限变得十分简单。运用得当会例4估计近似公式^/^T7=l+三-lxg[0,1]的绝对误差。28解：设二则因为/(0)=1r(x):壶(1+X)4/(O)=ir(x)=4(i^pn°)=435广⑷=

6、(1+义戸所以/(4=^/^^带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为:7T+^=i+--—+—(i+^xp2816•X5I从而：

7、/?2(A)

8、=-J^_(1+^X)2xe[0,1](

9、2)利用泰勒公式求近似值例5计算e的值，使其误差不超过1(T6r2rnpQx解：*eA=l+x+^-+."+^-+y^x(w+1)0<^

10、论导数的符号来得到函数的单调性，从而i正明不等式的方法。下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。例6设/(x)在［0，1］二次可导，而且/(0)=/⑴=0,lim/(x)=-l,试求存在b(o，i),使r(⑽。证明：由于/U)在［0，1］的最小伉不等于在区间端点的伉，故在［0,1］内存在X,,使/(々)=一1,由费马定理知，/'(A)=0。又/(x)=/(%,)+fxx)(x-%,)+(x-%,)=—1+y(厂)(X—X,)~(7/介丁•X与七之间)2!由于/(0)=/(1)=0,不令x=0和x=l，有0=/(0)=-l+^^(0-Xi)2所以r

11、(^1)=