2015年考研数学真题内容答案(数一)

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1、

2、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设函数在连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由的图形可知,曲线存在两个拐点,故选(C).2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(

3、A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】为齐次方程的解,所以2、1为特征方程的根,从而再将特解代入方程得:

4、3、若级数条件收敛,则与依次为幂级数的:(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】因为条件收敛,故为幂级数的条件收敛点,进而得的收敛半径为1,收敛区间为,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间仍为,因而与依次为幂级数的收敛点、发散点.4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续,则(A)(B)(C)(D)【答案】(

5、D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由得,;由得,由得,由得,

6、所以5、设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★【详解】有无穷多解或且或6、设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若,则在正交变换下的标准形为(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★【详解】由,故且:

7、所以,故选(A)7、若为任意两个随机事件,则(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】故选8、设随机变量不相关,且则(A)-3(B)

8、3(C)-5(D)5【答案】(D)【考点】【难易度】★★★【详解】二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、【答案】【考点】极限的计算

9、【难易度】★★【详解】10、【答案】【考点】积分的计算【难易度】★★【详解】11、若函数由方程确定,则.【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令,则,,,又当时,,所以,,因而12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则【答案】【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】由轮换对称性,得

10、其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以13、n阶行列式【答案】【考点】行列式的

11、计算【难易度】★★★【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量服从正态分布,则.【答案】【考点】【难易度】★★【详解】,且独立,

12、三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数,,若与在是等价无穷小,求,,值。【考点】等价无穷小量,极限的计算【难易度】★★★【详解】是等价无穷小16、(本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4,且,求的表达式.【考点】微分方程【难易度】★★★【详解】如下图:

13、处的切线方程为:

14、与轴的交点为:时,,则,因此,.即满足微分方程:,解得:.又因,所以,故.17、(本题满分10分)已知函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.【考点】方向导数,条件极值【难易度】★★★【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故故在曲线上的最大方向导数为,其中满足,即就求函数在约束条件下的最值.构造拉格朗日函数

15、令可得其中综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为.18、(本题满分10分)(Ⅰ)设函数可导,利用导数定义证明(Ⅱ)设函数可导,写出的求导公式.【考点】导数定义【难易度】★★【详解】

16、19、(本题满分10分)已知曲

17、线的方程为起点为,终点为,计算曲线积分【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★【详解】曲线的参数方程为从到20、(本题满分11分)设向量组是3维向量空间的一个基,,,。(Ⅰ)证明向量组是的一个基;(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求出所有的。【考点】线性无关,基下的坐标【难易度】★★★【详解】(Ⅰ)

18、因为,所以线性无关,是的一个基。(Ⅱ)设,为从基到基的过渡矩阵,又设在基下的坐标为,则在基下的坐标为,由,得,即由,得,并解得为任意常数。从而为任意常数。21、(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角阵.【考点

19、】相似矩阵

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