微分中值定理与导数的应用习题

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1、第四章微分中值定理与导数的应用习题§4.1微分中值定理1.填空题函数/(X)=arctanx在

2、0,11上使拉格朗曰巾值定理结论成立的；是(2)设/(x)=(x—l)(x—2)(x—3)(x—5)，则=0有3个实根，分别位•于区间(1，2)，(2,3)，(3,5)中.2.选择题(1)罗尔定理中的三个条件:f(x)在［tz，/?］上连续,在(a，b)内可导，且，⑷=/(/?),是f(x)在(《,/?)内至少存在一点使/巧)=0成立的(B).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件xsin.1in—(2)下列函数在［-1,1］

3、上满足罗尔定理条件的是(C).A./(x)=exB./(x)=

4、%

5、C./(%)=1-%2D.0,(3)若/(X)在(6Z，Z?)内可导，且X,、％2是0，/0内任意两点，则至少存在一点《，使下式成立(B).A.B.D.)=(x,-x2W)/(戋)-f(x2)=(%,-x2W)/(戋)-/(义2)=(%2-X,W)/(x2)-/(%,)=(x2-x,W)f在；，x2之间%!

6、0,所以/(%)为一常数.l+xl+；rJT设/(X)=C,又因为/(1)=-,故arctanx+tzrccot%=—(-00<%

7、方程1+*+ii=0有且仅有一个实根.26%2%31证明：没/(x)=l+;c+——+——，则/(0)=1〉0，/(一2)=-一<0,根据零点存在定理至263少存在一个fe(-2,0),使得/(<)=()•另一方面，假设有(-oo，+oo),且6<12,使/(^)=/(%2)=0,根据罗尔定理，存在使/(7/)=0,即1+//+

8、/72=0,这与1V2r31+//+—772〉0矛盾.故方程1+I+——+—=0只有一个实根.2266.设函数/U)的导函数/U)在［A纠上连续,且/(a)<0，/(c)〉0，/⑹<0,其中c是介于仏/?之间的一个实

9、数.证明：存在fe(6Z，/?)，使/Z(0=O成立.证明：由于/(X)在［A/?］内可导，从而/(X)在闭区间［6Z,/?］内连续，在开区间(A/?)内可导•又因为/(6Z)<0，/(C)〉0,根据零点存在定理，必存在点$G(6Z，C),使得/(&)=()•同理，存在点么G(c，b)，使得/(么)=0.因此/u)在［6,《2］上满足罗尔定理的条件，故存在fe0，/?),使，《)=()成立.7.设函数/(X)在［0,1］上连续，在(0，1)内可导.试证:至少存在一点(0,1),使r(a=2^/(1)-/(0)］.证明：只需令g(X)=X2,利

10、用柯西中值定理即可证明.8.证明下列不等式/、、、parxisinx(1)当0<又<7T时，>COSX.X证明：设/(r)=siiu—rcosr，函数/(o在区间［0，xl上满足拉格朗曰屮值定理的条件，且f(t)=tsin故/(x)-/(0)=/’④Cr-O)，00(0COSX.A；(2)当6Z〉/?〉0时，a-b、aa-b

11、/?，€z

12、上满足拉格朗口巾值定理得条件，有/⑻-/(/?)=/g)(a-bb<

13、^()+2.选择题(1)下列各式运用洛必达法则正确的是(B)limInhlimlimVn=en^n=1%+sinx1+cosxlim=lim=oo.2x—sin%a->oi—cosxx一sin—2xsin—cos—lim^=lim不存在sin%cosx

14、limlim—=1x->0(2)在以下各式屮，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是(C.21A.lim义—>osinxC.limX—x+sinxD.limA--44