摘要本文讨论了上单位模紧框架的一些性质；对一

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1、有限维Hilbert空间中紧框架的构造基金项目：福建省自然科学基金资助项目(2012J01005)；天元基金资助项目(11226099)；福州大学科技发展基金(2012XQ29).通讯作者：朱玉灿(1963-)，教授，E-mail:zhuyucan@fzu.edu.cn林玉珍,朱玉灿（福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350108）摘要：本文讨论了上单位模紧框架的一些性质；讨论上的单位模紧框架上可执行手术的一个充要条件；最后推广了上的单位模紧框架可执行手术的条件，并举例说明.关键字：框架；紧框架；图向量；框架手术中图分类号：O177.1Constructi

2、ngtightframesinfinitedimensionalHilbertspacesLinYuzhen，ZhuYucan(CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou,Fujian350108,China)Abstract:Inthispaper，wediscusssomepropertiesofunit-normtightframesin,andgiveanecessaryandsufficientconditionforan(r,k)-surgeryonunit-norm

3、tightframesin.Finally,wegeneralizetheconditionunderwhichaunit-normtightframecancarryonthe-surgery,andgiveanexampletoillustrateit.Keywords:frame;tightframe;diagramvector;framesurgery0引言1952年，Duffin和Schaeffer[1]在研究非调和Fourier级数问题时引入框架的概念.目前，框架理论是一个应用广泛的研究方向，已经取得了一系列重要的研究成果[2][3].近几年来，有

4、限维空间上的框架已经引起越来越多学者的重视.由于紧框架在许多实际应用中有很重要的作用（例如图像处理）,因此越来越多的人重视对紧框架的研究[3-8].跟一般框架相比，紧框架的重构公式比较简单，紧框架能避免在框架重构时框架算子的逆算子不容易计算，而且运算量大的麻烦.所以在实际应用时，我们需要构造一些紧框架.文献[9]给出构造紧框架的一种方法即由一个Bessel序列通过添加一些向量后使它构成紧框架，而文献[10]给出构造紧框架的另一种方法即先去除原框架中的一些向量后再添加一些向量使它构成一个新的紧框架.本文采用如下的记号：为有限维Hilbert空间，为正整数，表示矩

5、阵的严格上三角部分的元素的和，称8为向量对应的图向量.我们先简要介绍框架的一些基本概念和性质.定义1若序列，且存在正数和，使得对任意，都有，那么我们称为的框架.这里的和分别称为框架的下界和上界.如果，此时称之为的紧框架；特别地，如果，那么我们称为的Parseval框架或规范紧框架.若是紧框架，且对任意,都有，则称为的单位模紧框架.引理1[11]设，是中的序列，且全不为0，则是的紧框架当且仅当.一个紧框架可执行手术是指在去除紧框架里个向量的同时再添加个向量后仍是紧框架.文献[10]得到的单位模紧框架可执行手术的一个充要条件如下：定理1[10]设是的单位模紧框架，

6、则在上执行手术后还是的一个单位模紧框架当且仅当矩阵的严格上三角部分的元素的和满足：，其中，且是指去除个向量后剩余的向量的图向量.定理2[10]设是的单位模紧框架，设，其中，则可对执行一个手术，使得其构成的一个新的单位模紧框架.定理1得到的单位模紧框架在任意正整数下可执行手术的一个充要条件，但事实上在时是不成立的（见下面例1），我们对定理1进行适当的改正，并且给出详细的证明.我们讨论正整数和满足一定的条件，都可在去除个向量的同时只需再添加个单位模向量后得到的一个新的还是单位模紧框架.这样做可以使我们在构造新的单位模紧框架时有更多的选择性，并且我们可以在添加的向量

7、个数一样的前提下去除更多的向量后还构成新的单位模紧框架，使得新的单位模紧框架的向量个数可以更少.81主要结论下面给出时定理1不成立的例子.例1设的单位模紧框架，则其对应的图向量为.若去除，剩下，要使得框架在执行手术后还是一个单位模紧框架，则由引理1可知：添加的单位模向量必须满足，即，此时不是单位模向量，因此添加的向量也不是单位模向量.否则，设，则是单位模向量与不是单位模向量矛盾.因此，去除后不可能再添加一个单位模向量使得其能构成的一个新的单位模紧框架.同理，去除或或或或后都不可能再添加一个单位模向量使其能构成的一个新的单位模紧框架.即在上执行手术后不可能得到的

8、一个新单位模紧框架.然而，去除后，满足