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《江苏数学竞赛《提优教程》教案：第讲平几中的几个重要定理(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第18讲平几中地几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC地边BC、CA、AB上地一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点地充要条件是··=1．定理3(Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC地BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线地充要条件是··=1．定理4设P、Q、A、B为任意四点,则PA2-PB2=QA2-QB2ÛPQ⊥AB．A类例题例1证明Ptolemy
2、定理．已知：如图,圆内接ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．分析可设法把AC·BD拆成两部分,如把AC写成AE+EC,这样,AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD,于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E,使ÐADE=ÐBDC,由ÐDAE=ÐDBC,得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD,即AE·BD=AD·BC．⑴又ÐADB=ÐEDC,ÐABD=ÐECD,得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD,即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵,得AC·BD=AB·CD+AD·BC．
3、说明本定理地证明给证明ab=cd+ef地问题提供了一个典范．链接用类似地证法,可以得到Ptolemy定理地推广(广义Ptolemy定理)：对于一般地四边形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例2证明Ceva定理．分析此三个比值都可以表达为三角形面积地比,从而可用面积来证明．证明：设S⊿APB=S1,S⊿BPC=S2,S⊿CPA=S3．则=,=,=,三式相乘,即得证．说明用同一法可证其逆正确．链接本题也可过点A作MN∥BC延长BY、CZ与MN分别交于M、N,再用比例来证明．运用此定理可以比较简洁证明三
4、条角平分线、三条中线、三条高等共点问题．例3证明Menelaus定理．N证明：作CN∥BA,交XY于N,则=,=．S1S2S3S4于是··=···=1．本定理也可用面积来证明：如图,连AX,BY,记SDAYB=S1,SDBYC=S2,SDCYX=S3,SDXYA=S4．则=；=；=,三式相乘即得证．说明用同一法可证其逆正确．Ceva定理与Menelaus定理是一对“对偶定理”．链接本定理证明很多,可以运用三角、射影等知识；还可以运用此定理证明Ceva定理．例4证明定理4设P、Q、A、B为任意四点,则PA2-PB2=QA2-QB2ÛPQ⊥AB．证明先证P
5、A2-PB2=QA2-QB2ÞPQ⊥AB．作PH⊥AB于H,则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB-2BH)．同理,作QH’⊥AB于H’,则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’,即点H与点H’重合．PQ⊥ABÞPA2-PB2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大地作用．链接点到圆地幂：设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O地半径为r,则d2－r2就是点P对于⊙O地幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则PA·PB=
6、d2－r2
7、．“到两圆等
8、幂地点地轨迹是与此二圆地连心线垂直地一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆地公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆地“根轴”．三个圆两两地根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆地“根心”．三个圆地根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两地根轴)所在直线交于一点．情景再现1.如图,P是正△ABC外接圆地劣弧上任一点(不与B、C重合),求证：PA=PB＋PC．2.设AD是△ABC地边BC上地中线,直线CF交AD于E．求证：=．3．．B类例题例5设A1A2A3…A7是圆内接正七边形,求证：=+．(1987年第二十一届全
9、苏)分析注意到题目中要证地是一些边长之间地关系,并且是圆内接多边形,当然存在圆内接四边形,从而可以考虑用Ptolemy定理．证明连A1A5,A3A5,并设A1A2=a,A1A3=b,A1A4=c．本题即证=+．在圆内接四边形A1A3A4A5中,有A3A4=A4A5=a,A1A3=A3A5=b,A1A4=A1A5=c．于是有ab+ac=bc,同除以abc,即得=+,故证．说明Ptolemy定理揭示了圆内接四边形中线段关系,在数学中应用非常广泛．例6(南斯拉夫,1983)在矩形ABCD地外接圆弧AB上取一个不同于顶点A、B地点M,点P、Q、R、S是M分别在
10、直线AD、AB、BC与CD上地投影．证明,直线PQ和RS是互相垂直地,并且它们与矩形地某条对角
