函数的单调性(精品讲义)

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1、都江堰校区(数学)辅导讲义任课教师:岳老师Tel:18180622169课题函数的单调性基础盘查一 函数的单调性1.判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性(  )(2)函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3)(  )(3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(  )(4)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)(  )(5)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)(  )2.(人教A版教材习题改编)函数y=x2-2x(x∈[2,4])的增区间为________.3.若

2、函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是________.基础盘查二 函数的最值4.判断正误(1)所有的单调函数都有最值(  )(2)函数y=在[1,3]上的最小值为(  )5.(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则函数的最大值为________.【答案】1.(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×;2.[2,4];3.;4.(1)×(2)√;5.2[必备知识1]:单调性的定义设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1

3、x2);(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2).设x1,x2∈[a,b],如果>0,则f(x)在[a,b]上是单调递增函数,如果<0,则f(x)在[a,b]上是单调递减函数.[必备知识2]:确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再取值—作差—变形—确定符号—下结论.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.[典题例析]【例1】下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(  )A.f(x)=3-x      

4、 B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-

5、x

6、【解析】选C 当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-

7、x

8、为减函数.故选C.【例2】判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.【解】任取x1,x2∈(1,+∞),且x10,因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)

9、1,+∞)上是增函数.[必备知识2]:求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3

10、x

11、; (2)f(x)=

12、x2+2x-3

13、;(3)y=-x2+2

14、x

15、+1.【解】(1)∵f(x)=3

16、x

17、=图象如图所示.f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)=

18、x2+2x-3

19、的图象,如图所示.由图象易得:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递

20、减区间是(-∞,-3],[-1,1].(3)由于y=即y=画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).【例4】求函数y=的单调区间.【解】令u=x2+x-6,y=可以看作有y=与u=x2+x-6的复合函数.由u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.∵u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y=在(0,+∞)上是增函数.∴y=的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数y=f(x)在区间[a

21、,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b).【多角探明】函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有:(1)求函数的值域或最值;(2)比较两个函数值或两个自变量的大小;(3)解函数不等式;(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一:求函数的值域或最值【例5】函数f(x)=的最大值为________.【解析】当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x

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