三角恒等变换大题

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1、WORD格式可编辑三角恒等变换大题1.求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.2.已知函数f(x)=.(1)求f的值;(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin2x的最大值和最小值.3.已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),求2sin2α+tanα--1的值.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑4.已知α是第一象限角,且cosα=,求的值.5.已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f(x).(1)求证:tan(α+

2、β)=2tanα;(2)求f(x)的解析表达式;(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.6.已知函数.(Ⅰ)求的定义域;(Ⅱ)设的第四象限的角,且,求的值。21世纪教专业技术资料整理分享WORD格式可编辑7.已知,,试求的值.8.已知函数f(x)=sin2x+msinsin.(1)当m=0时,求f(x)在区间上的取值范围;(2)当tanα=2时,f(α)=,求m的值.9.已知,.(1)若,求的单调的递减区间;(2)若,求的值.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑10.设函数f(x)=

3、sinxcosx-cosxsin-.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.11.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f()的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.12.(1)已知专业技术资料整理分享WORD格式可编辑课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.解 y=7-4sinxcos

4、x+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6,由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10,最小值为zmin=(1-1)2+6=6,故当sin2x=-1时,y取得最大值10,当sin2x=1时,y取得最小值6.变式迁移1 解 (1)f(x)=====2cos2x,∴f=2cos=2cos=.(2)g(x)=cos2x+sin2x

5、=sin.∵x∈,∴2x+∈,∴当x=时,g(x)max=,当x=0时,g(x)min=1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.解 由sin(+2α)·sin(-2α)专业技术资料整理分享WORD格式可编辑=sin(+2α)·cos(+2α)=sin(+4α)=cos4α=,∴cos4α=,又α∈(,),故α=,∴2sin2α+tanα--1=-cos2α+=-cos2α+=-cos-=

6、.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角,cosα=,∴sinα=.∴=====-.(2)cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α),∵≤α<π,∴≤α+<π.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑又cos(α+)=>0,故可知π<α+<π,∴sin(α+)=-,从而cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×(-)×=-.sin2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×()2=.∴cos(2α+)=(cos2α-sin2α)=×

7、(--)=-.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.(1)证明 由sin(2α+β)=3sinβ,得sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],即s

8、in(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,∴sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴tan(α+β)=2tanα.(2)解 由(1)得=2tanα,即=2x,∴y=,即f(x)=.(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角,专业技术资料整理分享WORD格式可编辑∴0<α≤,0

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