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1、数学学习规律的表征与学习曲线的构建 摘要：学习数学会导致学生数学素质发生相对持久的变化，这种变化的特征表现为数学内化的体验性、理解的螺旋性和学习的现实性.并且,学生在学习过程中获得主观的满意感受.引起这种变化和满意的主要因素是理解数学知识所花费的时间.这种变化和满意最终要达到一种动态平衡状态，从而实现主观和客观的相对统一.用数学图形来表示这种关系是十分简洁和直观. 关键词：数学学习；规律；过程；平衡；曲线 【中图分类号】G633.6 加涅认为，人类学习的结果是其性能发生相对持久的变化.这里的性能包括智慧技能、言语信息、认知策略、态度和动作技能[].由于数
2、学是复杂的超现实的符号系统，它的所有知识点都是用逻辑链按树状结构组成的一个整体，十分抽象难学.虽然学习数学知识的过程十分复杂而漫长,但也是有一定规律的,主要表现为数学内化的体验性、理解的螺旋性和学习的现实性.学习数学不只是为获得考试“高分”的结果，而关键在于学习数学的过程，逐渐导致学生的知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度[]的变化,并获得满意的感受.这种变化和满意最终要达到一种动态平衡状态，从而实现主观和客观的相对统一.引起这种变化和满意的主要因素是理解数学知识所花费的时间，要学好数学也就必须“9投入足够的时间”[].本文作者从动态的观点探讨数学学习过程，以
3、期抛砖引玉. １．数学学习过程的规律性表征 1.1内化的体验性 数学是研究抽象关系的学科.儿童初学数学时以基于身体器官的操作性思维为主，逐渐能够在没有具体物质的情况下进行相关的心理活动，从动手实践逐渐内化为高级心理活动,即从可见的外部体验转化为不易观察的内部形式思维活动,这就是学习数学的主要特点之一内化的体验性.数学思维过程是可以亲自去体验的,但不必每个环节都亲自去体验.让小学生把一个三角形纸片的三个角撕下来,拼成一个平角，从而理解(一般的)三角形内角和定理，这种体验的效果是很好的,它是思维的基础.中学生一旦掌握了这个定理之后,他的相关体验已经内化了,就不必再
4、去动手撕和拼了. 从心理发展规律来说,学习数学需要体验,缺少体验的数学思维就会变为空中楼阁.《数学课程标准》[2]在描述目标时，多处使用“经历……过程”,“体验……过程”,“探索……过程”等词语,这种在特定的教学活动中,在具体情景中观察、实验、推理等活动，初步认识对象的特征，获得一些数学经验，我们不妨称之为数学体验.这种体验性是数学思维活动的基础.无法体验的东西是不易内化的.很难想象,一个不懂四则运算的人,能够体验到计算器的计算结果,因此,他就会不信任计算器,也就不会主动使用计算器. 虽然数学思维过程可以体验,但并非时时处处都要用探索式、发现式的体验,否则就不会
5、有现代数学了,人类也就不会进化了①9.例如，柯西在证明多面体欧拉公式时[]，用降维和三角剖分法,将多面体转化为平面图形,再将平面图形转化为三角形来证明.这一思维探索过程是可以去体验的.同样,数学归纳法的思维过程也具有可体验性.随着多面体面数F和自然数N的增大,动手体验会愈来愈困难,迫使学生内化体验.一般地说,曾经体验过且熟悉的知识用不着再去体验,需要时回忆一下就可以了,只有新的那部分知识才需要体验.随着数学知识的抽象程度提高,学习数学时更多地要用到这种内化的体验. 1.2理解的螺旋性 温故而知新,经验是伟大的老师.学生当前的学习必须建立在已有的知识经验基础之上,
6、如果新知识完全脱离了已有的知识经验,它就无法理解.并且,理解每个形式化的数学知识点都不是一次完成,而是多次反复,逐步深入以至无穷.这就是数学理解的螺旋性特征.这方面的典型例子是我们对几何空间的认识. 在数学上，常把低维空间上的问题，推广到高维空间中去，而在高维空间中问题往往要复杂困难一些.对高维空间问题的解决又会促进对低维空间问题的理解.例如,我们对赖以生成的宇宙空间―几何的认识也是螺旋上升的.欧几里德(Euclid,BC325-270)在《几何原本》中先给出点、直线、圆等直观定义，然后列出不证自明的5条公理和5条公设，据此用逻辑的方法推演出全部465个命题！构建
7、了欧氏几何体系，使人们在理性上“认识”了生活的几何空间.这是逻辑推理的一项前无古人的奇迹.其中第5公设“过直线外一点，能且只能作一条直线和已知直线平行”9看上去不象其它公设（理）那样简单明了，那样不证自明，因此，自《几何原本》诞生以来，人们就开始对第5公设进行争议和研究，人们怀疑第5公设的独立性，试图用其它公设或公理去证明它，经2000多年的努力，虽然都失败了，但人们逐渐认识到，只要一组假设相互无矛盾，就有逻辑推出一种“几何学”的可能，这就是非欧几何的思想.19世纪罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1792-1856）保留欧氏几何前4条公设，但把第5公设改
