概率论与数理统计复习题

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1、概率论与数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B

2、A1)＝0.08，P(B

3、A2)＝0.09

4、，P(B

5、A3)＝0.12。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B

6、A1)+P(A2)P(B

7、A2)+P(A3)P(B

8、A3)=0.09由贝叶斯公式：P(A1

9、B)＝P(A1B)/P(B)=4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装

10、30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件={从第i箱取的零件}，={第i次取的零件是一等品}（1）P()=P()P(

11、)+P()P(

12、)=（2）P()=,则P(

13、)==0.485二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X的概率密度函数为求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1

14、λ＝1/2(2)(3)10(4)当x<0时，当0x<2时，当x2时，F（x）=1故练习：已知随机变量X的密度函数为且E(X)=7/12。求：（1）a,b；（2）X的分布函数F(x)（同步49页三、2）练习：已知随机变量X的密度函数为求：（1）X的分布函数F(x)；（2）P{0.3

15、2.]练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。[答案：当x＜1时，F(x)=0;当1≤x＜2时，F(x)=0.2;当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1四、二维连续型随机向量例：设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：（1）联合概率密度与联合分布函数；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依题知所以联合概率密度为10当时，有所以联合分布函数（2）；（3）练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是求：（

16、1）关于X的边缘密度函数fX(x)；（2）P{X≥50，Y≥50}（同步52页三、4）五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。[答案：]六、协差矩阵例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为计算随机向量（X＋Y,X－Y）的协差矩阵（课本116页26题）10解：DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X＋Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=

17、1COV（X＋Y,X－Y）=DX-DY=-5故（X＋Y,X－Y）的协差矩阵练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为计算随机向量（9X＋Y,X－Y）的协差矩阵（课本116页33题）解：E(9X+Y)=9EX+EY＝9μ1+μ2E(X－Y)=EX－EY＝μ1－μ2D(9X＋Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22D(X－Y)=DX+DY－2COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22COV（9X＋Y,X－Y）=9DX-DY－8COV(X,Y)=9σ12

18、－8ρσ1σ2－σ22然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设X~U(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（）。[答案填：]解：X~U(0,2)，，求导出=（）练习：设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。[答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.]八、中心极限定理例：设对目标独立地发射400发炮