扭转时横截面上的应力

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1、第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律  为了建立扭转的强度条件,在求出了圆轴各截面上的扭矩值后,还需要进一步研究扭转应力的分布规律,因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。  取一根橡胶圆棒,为观察其变形情况,试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线,形成许多小矩形,见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩mA、mB,在小变形的情况下,可以看到圆棒的变形有如下特点:   1.变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变,两相邻圆周线之间的距离也没有改变;   2.表面上的纵向线

2、在变形后仍为直线,都倾斜了同一角度g,原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度j,叫做相对扭转角,见下图。观看动画,理解微元体的获得。  通过观察到的表面现象,可以推理得出以下结果:   ★ 各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化,仍是平面,只是相对地转过了一个角度,各横截面间的距离也不改变,从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形,所以,在横截面上没有正应力产生;   ★ 圆轴各横截面在变形后相互错动,矩形变为平行四边形,这正是前面讨论过的剪切变形,因此,在横截面上应有剪应力;

3、   ★ 变形后,横截面上的半径仍保持为直线,而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向,与半径互相垂直。由此知道扭转时横截面上只产生剪应力,其方向与半径垂直。下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。  为了观察圆轴扭转时内部的变形情况,找到变形规律,取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dj,轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D',轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角g,而经过半径O2D上任意点H的纵向线

4、EH在杆变形后倾斜了一个角度gr,它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意,上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为r,由于构件的变形通常很小,即                                                      所以                         (a)由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动,图上△O2HH'与△O2DD'相似,得                            (b)将式(b)代入(a)式得 

5、                  (1-40)上式表明,圆轴扭转时,横截面上靠近中心的点剪应变较小;离中心远的点剪应变较大;轴表面点的剪应变最大。各点的剪应变gr与离中心的距离r成正比。 根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比,即t=G·g。在弹性范围内剪应变g越大,则剪应力t也越大;横截面上离中心为r的点上,其剪应力为tr;轴表面的剪应力为t。因此有 tr=G·gr ,t=G·g代入(1-40)式可得                   (1-41)上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是

6、:横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。圆心处剪应力为零,轴表面的剪应力t最大。分布情况如下图所示。  演示动画在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即                            (1-42)二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力要计算剪应力,只知道了横截面上剪应力分布规律还不够,还必须分析截面上的扭矩M与剪应力t之间的关系。在截面上任取一距中心为r的微面积dA,作用在微面积上的力的总和tr·dA,对中心O的力矩等于tr·dA·r。截面上这些力矩合成的结果应等于

7、扭矩M,即 将式(1-42)代入得       令,称做截面的极惯性矩。则上式可以改写为     再令,称做抗扭截面模量。则得到                             (1-43)将式(1-43)代入式(1-42),可得出横截面上任一点的剪应力计算公式                            (1-44)三、极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr的计算极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr是与截面尺寸和形状有关的几何量,可以按下述方法计算。 (1)对实心圆轴来说,如上图,可以取一圆环形的

8、微面积dA,则dA=2p·r·dr,因此        (2)对内径为d,外径为D的空心圆轴,它的极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr分别为  , 令d/D=a,则      应当注意的是:圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差;而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。  下面是两道例题,供读者参照。例1-22.设搅拌轴的转速为n=50r/min,搅拌功率为N=2kW,搅拌轴的直径d=40mm,求轴内的最大应力。解析:轴的外力

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