高中数学导数与应用

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1、WORD格式可编辑高中数学导数及其应用　　一、知识网络　　二、高考考点　　1、导数定义的认知与应用；　　2、求导公式与运算法则的运用；　　3、导数的几何意义；　　4、导数在研究函数单调性上的应用；　　5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；　　6、导数在解决实际问题中的应用。　　三、知识要点专业技术资料整理分享WORD格式可编辑　　（一）导数　　1、导数的概念　　（1）导数的定义　　（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说

2、函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。　　（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。　　认知：　　（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。　　（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：　　①求函数的增量；　　②求平均变化率专业技术资料整理分享WORD格式可编辑；　　③求极

3、限　　上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。　　（2）导数的几何意义：　　函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。　　（3）函数的可导与连续的关系　　函数的可导与连续既有联系又有区别：　　（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；　　若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。　　事实上，若函数在点处可导，则有此时，　　　　　　　　　　记,则有即在点处连续。　　（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。　　反例：在点处连续，但在点处无导数。　　事实上，在点处的增量专业技术资料整理分享WORD格式可编辑　

4、　当时，　　　　　　　　，　　　　　　；　　当时，　　　　　　　　，　　　　　　　　由此可知，不存在，故在点处不可导。　　2、求导公式与求导运算法则　　（1）基本函数的导数（求导公式）　　公式1　　常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。　　公式2　　幂函数的导数：。　　公式3　　正弦函数的导数：。　　公式4　　余弦函数的导数：　　公式5　　对数函数的导数：　　（Ⅰ）；　　（Ⅱ）　　公式6　　指数函数的导数：　　（Ⅰ）；　　（Ⅱ）。　　（2）可导函数四则运算的求导法则　　设为可导函数，则有　　法则1　　专业技术资料整理分享WORD格式可

5、编辑；　　法则2　　；　　法则3　　。　　3、复合函数的导数　　（1）复合函数的求导法则　　设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，　　即。　　引申：设，复合成函数，则有　　（2）认知　　（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链

6、条：　　；　　（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路　　①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；　　②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；　　③专业技术资料整理分享WORD格式可编辑还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。　　二、导数的应用　　1、函数的单调性　　（1）导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。　　（2

7、）利用导数求函数单调性的步骤　　（Ⅰ）确定函数的定义域；　　（Ⅱ）求导数；　　（Ⅲ）令，解出相应的x的范围　　当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。　　（3）强调与认知　　（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；　　（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不

8、连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。　　举例：　　（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。　　（2）在点x=0处连续，点x=0处