吸波材料与微波暗室问题的数学建模

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1、2011年全国研究生数学建模竞赛B题吸波材料与微波暗室问题的数学建模新型隐身歼击机歼-20最近试飞成功，标志着我国在隐身技术领域取得了重大进展。所谓飞机隐身，是指在飞机有关部位涂覆或粘贴吸波材料，合理设计飞机外形与布局等使敌方探测系统（如无线电雷达，红外雷达，激光雷达等）只接收到大大减弱后的飞机反射信号，从而降低被发现或跟踪的可能。隐身技术的基础研究包括探索不同频段上吸波的机理，研制高效吸波的特殊材料，将吸波材料设计成合理的形状使之发挥最大效能等，其成果不仅可以应用到飞机舰船坦克等军用装备，也可以应用到其他科技领域。例如，许多以电磁波，光波或声波的传播为信息载体的仪器设

2、备，都需要功能与性能的测试，甚至还要对其工作过程进行尽可能真实的仿真。早期这类测试常选择在无电磁干扰的偏僻空旷山区进行。在近代各种干扰已无法全部避免，所以近三十多年来这样的测试与仿真（例如本题将要研究的导弹制导系统的仿真），放置在被称为“无回波暗室”的实验室中进行。无回波暗室能够屏蔽外界干扰信号，通过内墙（包括地面与天顶面）敷设的吸波体，吸收各类反射信号，使室内反射大为减弱，被测设备接收到的“似乎”只有测试信号源发出的实验所需信号。这样，它为测试设备提供了一个几乎没有反射信号的“自由空间”。图1给出了二维示意。由物理学知道，除了真空，没有一种介质对于各频段的电磁辐射波（

3、甚至包括声波）的传播是绝对透明的，波从一种介质辐射到另一种介质时，都将发生不同程度的反射、折射乃至散射，一部分波的能量被图1无回波暗室工作示意图吸收转化为介质的内能。定义反射率为反射波功率与入射波功率之比：，显然。吸波材料一般制成平板形状和特殊形状两大类基本形状。平板形状吸波体的主要性能指标是电磁波从空间向材料表面垂直入射（入射角）时的反射率，其值越小，吸波性能越高。当入射角时称为斜入射，斜入射时将出现反射、折射情况，此时反射率的理论计算较复杂，与入射角、两种介质的电参数和波的极化方向等多种因素有关，本题将反射率简化为满足余弦法则，即，其中为入射角大小，其中为垂直入射反

4、射率。为了提高无回波暗室的吸波性能，一般使用锥体（正四棱锥或正圆锥体等）或尖劈形状的吸波体，大量锥体或尖劈有规律地排列组成的整体粘贴在墙上构成吸波体。采用这些形状的主要理由是它们能使得辐射波在尖形的几何空缺间形成多次反射和透射-反射，降低反射出去的能量，实现高效率吸波。图2示意了一条想象中的辐射线（实际上是在一个微小立体角内辐射）射入尖劈吸波体后，经过多次反射以及透射过尖劈后进入相邻尖劈空间形成反射的情况。为尖劈角，为尖劈7的高，为尖劈的底部宽度。理论上还应有多次透射后进入相邻空间的反射，但能量已极小，工程上可以不计。吸波体的吸波性能计算需要考虑多次反射，微波暗室的电磁

5、特性分析应研究各个墙面间的相互影响（即一个墙面既接受其他墙面的辐射又同时反射给其他墙面）。尽管理论上可通过求解由Maxwell方程组和相应的边界条件构成的数学物理问题，来严格地分析与计算，但模型复杂且计算繁杂量大。工程上处理此类复杂问题的常用思路是先采用简化模型进行理论分析，再用实验测试数据修正由简化模型得出的分析结果。若模型较合理、测试数据准确，则这样的处理图2尖劈形吸波体吸波功能的示意对实际研究具有较高的指导价值。本题要求采用上述工程处理的思路，用较简单直观的几何光学模型，来初步研究分析特殊吸波体和微波暗室的性能这两类问题，后续的实验测试与修正不包括在本题中。问题1

6、：尖劈形状吸波体的性能分析设尖劈形状吸波体及其坐标系如图3所示，尖劈的长度沿方向为无限长，其他尺寸记号同图2。由射向角（轴正向与入射线负方向的夹角）和方位角（轴正向与射线在平面上投影的夹角）确定入射波线的方向，只考虑波在两种不同介质界面处的反射，不考虑边缘处的绕射。假设尖劈材料的电性能参数各处均匀，垂直入射的反射率为，斜入射时的反射率满足前述的余弦法则，设入射波线的辐射强度为1单位。试建立入射波线在一个尖劈几何空缺间反射过程图3尖劈吸波体吸波示意的数学模型，即分别刻画最终反射波线的方向，反射次数，反射波的辐射强度与已知反射率、诸几何参数之间的定量关系。建议：可先从二维问

7、题着手研究起。问题2：导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究自主寻的式导弹的制导系统的核心设备之一是安置在头部、能自动寻找和跟踪目标的导引头。在导弹的研制过程中需要在地面条件下模拟导引头跟踪目标的性能。设导引头的工作波段在微波段（指频率为0.3-300GHz(波长1m-1mm)）。一种已经研究成功的仿真系统主要由目标模拟器系统，作为导引头支架的三轴转台和微波暗室组成。目标模拟器用来模拟目标运动，它由天线阵列子系统及其控制子系统组成。天线阵列是安置在微波暗室靠近一面墙、有规律排列在同一球面的若干个微波天线，各天线的中心轴线对准球心，按某种规