导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

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1、设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.解析:解法1:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a,令g′(x)=0,解得x=ea-1-1.(1)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数.又g(0)=0,所以对x≥0,有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.(2)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是

2、减函数.又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,有g(x)<g(0),即f(x)<ax.所以当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上a的取值范围是(-∞,1].解法2:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当-1<x<ea-1-1时,g′(x)<0,g(x)为减函数.要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要

3、条件为ea-1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].1.其中;2.其中;3.其中;4.其中;已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围.(Ⅰ)略解得,.(Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法由(Ⅰ)知,所以.考虑函数,则.(i)当时,由知,当时,.因为,所以当时,,可得;当时,,可得,从而当且时,,即;(ii)当时,由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾.(iii)当时,,而,故当时,,可得,与题设矛盾.综上可得,的取值范围为.当,且时,,即,也即,记,,且则,记,则,从而在上

4、单调递增,且,因此当时,,当时,;当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,,即当,且时,.因为恒成立,所以.综上所述,当,且时,成立,的取值范围为.设函数.(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)当时,,求的取值范围.应用洛必达法则和导数(Ⅱ)当时,,即.①当时,;②当时,等价于.记,则.记,则,当时,,所以在上单调递增,且,所以在上单调递增,且,因此当时,,从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,,所以当时,所以,因此.综上所述,当且时,成立.若不等式对于恒成立,求的取值范围.应用洛必达法则和导数当时,原不等式等

5、价于.记,则.记,则.因为,,所以在上单调递减,且,所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,且,故,因此在上单调递减.由洛必达法则有,即当时,,即有.故时,不等式对于恒成立.通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:①可以分离变量;②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;②现“”型式子.2010海南宁夏文(21)已知函数.(Ⅰ)若在时有极值,求函数的解析式;(Ⅱ)当时,,求的取值范围.解:(Ⅰ)略(Ⅱ)应用洛必达法则和导数当时,,即.①当时,;②当时,等价于,也即.记,,则.记,,则,因此在上单调递增,且,所以

6、,从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,所以,即有.综上所述,当,时,成立.2010全国大纲理(22)设函数.(Ⅰ)证明:当时,;(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.解:(Ⅰ)略(Ⅱ)应用洛必达法则和导数由题设,此时.①当时,若,则,不成立;②当时,当时,,即;若,则;若,则等价于,即.记,则.记,则,.因此,在上单调递增,且,所以,即在上单调递增,且,所以.因此,所以在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,,即有,所以.综上所述,的取值范围是.设函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.解:(Ⅰ).当()时,,即;当(

7、)时,,即.因此在每一个区间()是增函数,在每一个区间()是减函数.(Ⅱ)应用洛必达法则和导数若,则;若,则等价于,即则.记,因此,当时,,在上单调递减,且,故,所以在上单调递减,而.另一方面,当时,,因此.

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