malthus和logistic模型及其医学应用

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1、Malthus和Logistic模型及其医学应用【摘要】Malthus模型和Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它们在医学中的应用涉及传染病模型、肿瘤生长、肿瘤治疗等。介绍了Malthus模型和Logistic模型在医学中的主要应用。【关键词】Malthus模型Logistic模型医肿瘤　　AbstractInthispaper,MalthusmodelandLogisticmodelisamongkeytheoriesofpopulationecology.Extensiveresearch

2、hasbeenconductedonmodels,manyappliedtothefieldoftheincreaseofcancer,epidemics,etc.Keyalthusmodel;Logisticmodel;medical;cancer　　1Malthus模型　　1.1Malthus模型Malthus模型〔1～4〕是由英国统计学家马尔萨斯（TRMalthus）于1798年提出的人口模型：　　dN(t)dt=rN(t),N(t=t0)=N0（1）式中r代表出生率，假设为常数，N(t)为t时刻的

3、人口数量。方程（1）的解为：N(t)=N0er(t-t0)（2）　　模型（2）表示人口增长将按指数规律增长，称为Malthus人口指数增长模型，简称Malthus模型。实践证明当人口数量不太大时，Malthus模型能够很好的说明人口总数的增长情况。　　1.2流行病与传染病的Malthus模型Malthus模型在流行病与传染病预防方面具有一定的参考。设某地区的人口数为n，初始时刻t=t0共有i0个人得了某种传染疾病，t时刻已感染（infective）的病人数为i(t)。假定每一感染者在单位时间内将疾病传播给

4、k个人，并且该疾病既不会导致死亡也不会康复，则有与（1）式相同的模型〔1〕，其解仍为（2）式。式中r在医学上被称为该疾病在该地区的传染强度，假设为常数。一般地，传染病流传初期，该疾病既不会导致死亡也不会康复，用Malthus模型来描述在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，它将越来越偏离实际情况。　　1.3肿瘤生长的Malthus模型假设某肿瘤t时刻的体积为V(t)，初始时刻t0的体积为V0，单位时间内肿瘤的增长率为r（r常数），并且肿瘤的增长率（体积变化率）与当时的体积成正比，则有如下方程〔2〕：d

5、V(t)dt=rV(t),V(t=t0)=V0（3）　　方程（3）的解为V(t)=V0er(t-t0)，即肿瘤的增长也符合Malthus模型。在临床应用方面，肿瘤体积增大一倍所需要的时间t＇（倍增时间）是刻划肿瘤生长的一个重要参数，不难得到：t＇=ln2/r(4)由于肿瘤的增长率r往往不容易得到，而利用现代影像技术比较容易测出肿瘤的直径D，所以临床上是将肿瘤近似地看成一个球体，利用体积公式V=43πR3=π6=D3，可得D=D0er(t-t0)3　　D=D0eln2t＇gT3=D0(eln2)T3t＇=D

6、02T3t＇=D02k3（5）其中T=t-t0=kt＇，k为倍增次数。取对数k=3lg(DD0)/lg2（6）转化为体积可得k=lg(VV0）/lg2（7）当V=2V0时，DD0=213≈1.26。　　一个癌细胞的直径约为10μm，重约0.001μg。假设肿瘤按Malthus模型指数增长，恶性肿瘤由初始的一个癌细胞到临床上可以检测出的直径1cm肿块时，直径增大了1000倍，需要的倍增次数约为30。从直径约为10μm、重约0.001μg增大到直径1cm的肿块，其重约为1g。而从直径1cm到致人死亡的1kg重

7、的癌症肿块，体积增大1000倍，需要的倍增次数约为10。这说明，癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存活期的3倍。故及早发现及及早治疗在癌症治疗中起着至关重要的作用。Skiper等人用老鼠做试验，研究了放射性治疗杀灭白血病细胞的规律，发现按照Malthus模型指数增长的肿瘤经化疗后也按Malthus模型指数规律消退，即V(t0+Δt)=V(t0)e-λΔt，其中Δt为放疗时间，λ>0与放疗剂量有关，t0为开始放疗时刻。由此他们提出了临床上一直使用的"对数杀灭"概念。设放疗的杀灭率为F，则　　F=

8、1-V(t0-Δt)V(t0)=1-e-λΔt（8）若杀灭率为0.9，则残存率为0.1，医学上称为一个对数杀灭；若杀灭率为0.99，则残存率为0.01，医学上称为两个对数杀灭；若残存率为10-k，则医学上称为k个对数杀灭等等。　　1.4药物在体内分布的Malthus模型在快速静脉注射时，设药物的总量为N0，药物在瞬间被注入体内，机体的体积设为V，t时刻体内药物总量为N(t)。假设机体内的药物分布是均匀的，药物的分解与排泄与当时