递推数列通项的求解策略

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1、递推数列通项的求解策略临沂市临沭县第一中学李志刚2011.2由数列的递推公式，求数列的通项公式是高考常考的内容，但是由于数列的表现形式各异，有些数列的递推公式比较复杂，给问题的解决带来不少困难。本文试图归纳几类较为常见的数列通项问题的求法，给读者一些有益的启示.1．累加型形如，则,,以上个等式经累加，得.例1数列满足,,求数列的通项.解：由且，得，所以===.2．累乘型形如，，则可利用,,以上个等式经累乘，得，即.例2数列中,且,，求数列的通项.解：因为,个等式经累乘得，所以==.3.构造型（1）形如，其中为常数且的构造

2、可用待定系数法,构造一个公比为的等比数列,令,经整理比较得,从而是一个公比为的等比数列.4例3已知数列满足，，求的通项公式.解：设，解之得，则，令，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.评析：把作为一个整体，求，通过求的通项，间接的求的通项公式.若，则可以用累加法直接求通项.（2）形如，且型的构造可变形成，令，则，（此问题就转化成的模型求解）.例4已知数列满足，，求的通项公式.解：原式变型为，令，则（此问题就转化成的模型）……，解之得：.评析：等式两边同除以，要注意的下标与指数变量同步，即：与，与，将问题转化到

3、模型求解.（3），且型的构造可用待定系数法构造，然后经整理比较得出，从而转化为型的构造.例5已知数列满足，，求的通项公式.解：设，解之得，，则，令，则（此问题就转化成4的模型）……，解之得：.评析：把作为一个整体，要注意的下标与一次变量同步，即：与，与，将问题转化到的模型求解.类型(1)(2)(3)也可归纳到这类问题中，则还可通过同除，变形为，令，得，再通过累加得.（4）形如的构造可两边取对数得，令，得，所以该问题转化到模型求解.例6数列中,,,求解：显然,对的两边同时取以为底的对数得,令,则，（此问题就转化为模型）……

4、，解之得：.评析：由于数列是冪型数列，通过取对数将递推关系式转化为的模型,若，可以用累乘法求通项.例7已知数列与有如下关系：，求数列和的通项公式.解：有已知得，且.即，取对数得，即数列是首项为，公比为的等比数列.，于是，从而.评析：虽然数列不是冪型数列，但由此构造的数列是一个冪型，所以可以先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式.4（5）其它一些常见类型的构造例7数列满足,且,求数列的通项.解：将原式两边同时除以,变形为.令,则（即可化为用累加方法求解）……，解之得：.评析：通过同除，将递推关系式转化为累加型通项求法.例

5、8已知各项都是正数的数列满足，，求数列的通项公式.解：由已知得令，则有.又，，从而.取对数得，令，得（此问题就转化为模型）……，解之得：评析：数列是一个二次递推数列，虽然不是基本冪型，但由它可以构造一个新的冪型数列，通过求的通项公式而达到求数列通项公式的目的.4