第十讲弧、弦、圆心角、圆周角

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1、第十讲弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做．【探究】如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦：；相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合

2、．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦．（1）如果AB=CD，那么______,________（2）

3、如果弧AB=弧CD，那么______,_______（3）如果∠AOB=∠COD，那么______,_______（4）如果AB=CD,OE⊥AB，OF⊥CD,OE与OF相等吗？（5）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。【应用】例、如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明_____

4、_____例、如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，求∠AOE的度数。方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为___________例、已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．方法小结：同圆中，由弦相等可得_____________,弧之间可进行加或_______【自我检测】1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是

5、（）两条弦AB和CD的关系是（）A.AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．不能确定3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________4、如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．5、如图所示，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于E、F，延长BA交圆于G。求证：思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过证明两条弧所对的____________相等，因此，可作辅助线________6、已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，

6、⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．思路导航：由角平线线可联想_____________________,因此可添加辅且线________由同圆中_______相等，可得出弦EF和GH相等。知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACBÐ）有什么关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角∠ADB和∠AEB相同吗？∠ACB,∠

7、ADB和∠AEB的共同特征是，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。【辨析】识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？【探究】如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论【探究】如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？圆周角定理：在同圆或等圆中，

8、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．[辨析]：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：____________________【应用】例1、图中分别相等的圆周角有__