对“分类讨论”的再思考

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1、对“分类讨论”的再思考江苏省溧水县第二高级中学高虎英（邮编211200）在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的木质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”.分类讨论木质上是“化整为零，积零为整”的解题策略.引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如

2、x

3、的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种

4、情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果.分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提,“分类”是比较的结果.分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论.分类讨论的方法是解决数学问题常用的方法，因分类讨论牵涉的面多,解题过程中容易出错，因此也要注意指导学牛.辩证地分析数学问题，不要盲目、机械地进行分类讨论。事实上，有不少含有分类因素的数学题，如果能够在着手讨论前对问题作一番深入研宄,挖掘其一些隐含条件

5、，灵活采用相应的解题策略，则往往可以简化或避免分类讨论的步骤，从而实现解题过程的优化，提高解题的正确率。1.着眼全局整体，减少讨论次数例1.设a≥0,在复数集C中解方程。分析:此题一般是通过设Z=x+yi（X，y∈R）来解，原方程化为，即，对x=0或y=0进行分类，然对x，y的符号进行讨论，再后还要对a的取值范围进行分类，这样多的分类，在解题过程中奋可能就会出现错误。利用整体思想，对方程作整体变形，则可减少讨论的次数和层次，迅速并正确获得方程的解。解：原方程变形为∈R,(把看成一个整体)∴Z为实数或纯虚数。(1)若Z

6、为实数，贝ij，此吋原方程可化为，解得Z=±；o(2)若Z为纯虚数，设Z=±ri(r∈R),此吋原方程可化为(a≥O),原方程当0≤a≤l时Z=±或Z=±；a〉l吋无纯虚数解。1.等价变形转换，避开分类讨论例2.设对所有的实数X，不等式+2x+〉0恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题的常规解法要分两类来解，一是二次项系数为0吋，二是二次项系数大于0吋。而第一种情况往往遗漏，第二种情况即，但运算复杂，出错机率大，我们可以通过等价变形，避免分类讨论，使问题简单化。解：不等式+2

7、x+〉0可等价变形为〉，而，是绝对不等式，要使原不等式恒成立，只要成立，很快能解得00,x=0吋恒成立，因此只要研究x∈吋，恒成立，即，恒成立，分两种情况、利用抛物线图象对称轴对a分类讨论，显然分类讨论次数多，麻烦且容易产生错误，如能利用分离变量和整体思想，变更主要变元a,—方面避免分类讨论，也能提高解题的正确性。解：•.•一b〉0，*=0吋*

8、<一1)恒成立，x∈吋要使恒成立，只要对x∈恒成立，即,由(1)Vb<0,g(x)=在x∈吋为增函数，∴a〉g(1)=l+b；Vb<—1,h(x)=在上为减函数，a

9、a;，bsinα)，==，根号内化为以sinα为变元的二次三项式，sinα∈,对参数b分类讨论，运算显然复杂。能杏构造辅助图形，借助图形的直观性，能很容易求出满足条件的bo解：以P(0,)为圆心，为半径作圆，正好与椭圆相切，切点到P(0,)的距离就是椭圆上的点到P的最远距离。该圆方程为，椭圆方程为，联立方程组消去x得，两曲线有切点，即△=()，解之。椭圆方程为。当然，在学习“分类讨论”这一重要思想方法的Ml吋，我们要注意的是，我们既要学会使用这种解题方法，通过不断的训练熟悉这种方法，努力克服分类讨论过程中容易出

10、现的主观性和盲S性错误，也要注意简化乃至避免分类讨论,以达到优化解