比估计与回归估计49068

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1、1第五章比估计与回归估计第一节比估计的一般形式第二节分层比估计第三节回归估计的一般形式第四节分层回归估计2第一节比估计的一般形式一、比估计综述比估计是依据调查变量与辅助变量间的比率来对总体有关参数进行估计和推断。通常简称比估计。同简单估计相比，比估计具有以下特点：(1)在比估计中，除调查变量外，还需要了解与调查变量有关的辅助变量，并且要求辅助变量的总体均值或总体总和必须事先已知。(2)比估计方法，对抽样调查单元是有条件的，通常是用组成总体的最基层单位为调查单元。3(3)比估计只适用于有限总体，因为只有有限总体才可能计算出为比估计所需要的辅助变量的总体总和与总体均值。(4)当每个单元的

2、调查变量与辅助变量的比例(一般要求为正比例)十分稳定，且变异很小时，比估计就具有十分精确的估计效果，只要抽取少量的样本单元，就可得到满意的结论。(5)在比估计时，出于估计精度方面的要求，选择辅助变量时，须与调查变量的关系愈密切愈好，至少要求相关系数在1/2以上。4在实际工作中，为了充分发挥比估计的优越性，在应用比估计时应考虑两条：一是选与调查变量有较密切的正相关关系的变量作为辅助变量。因为如果辅助变量与调查变量的关系不密切，各自独立变化，则对比估计起不了应有的辅助作用。二是样本容量要比较大。因为比估计是有偏倚的，只有当样本容量n比较大时，其偏倚才能比较小，比估计才更加有效。5设总体有

3、N个单元，对每个单元考虑两个指标y和x。抽取容量为n的简单随机样本，则总体比率R的估计量为：其中：,分别为指标与的样本和。二、总体比率的估计6比率估计是有偏的，但当样本量n增大时，偏倚逐渐趋于零。所以，当n增大时，，为R的近似无偏估计量，其方差为7当总体方差未知时，可用样本方差替代，以估计方差。此时或8前面两章所讨论的估计量只是利用了调查变量的信息，这样的估计量称为简单估计量。当调查变量和辅助变量具有正相关关系时，为了利用辅助变量的信息，可以构造总体均值或总和的比估计量。在简单随机抽样中，总体均值和总体总和的比估计量分别为：其中或必须已知。三、总体均值和总和的比估计9当n充分大时即与

4、分别是与的近似无偏估计。其方差估计量为：10对简单随机抽样，若n足够大，则当时，有其中分别为总体中x与y的变异系数。四、比估计量与简单估计量的比较11特别当(例如当x是y的前期数据时有这种可能)时，只要ρ>1/2，比估计量就比简单估计量更为精确。对一般问题，可先作一试点调查，估计出ρ的值，再判断作出选择比估计量或是简单估计量。所以，我们的一个基本结论为：利用比估计提高抽样效果的条件是ρ>1/2。12估计总体比率时如果允许的最大方差为V，当n大时，可得：将代入上式，则得：五、样本容量的确定13第二节分层比估计一、各层分别比估计各层分别比估计是先对各层分别进行比估计，然后按层权加权平均，

5、以得出总体参数的估计，即：14在分层随机抽样中，若每层的样本量都较大，则为Y的近似无偏估计。其方差为：当各层的总体方差未知时，可用相应的样本方差代替。由此得到方差的估计量：15联合比估计是先按分层随机抽样公式估计Y和X：然后用这两个量的比及已知的X对Y作估计：其中：二、联合比估计16联合比估计只需要已知X，而无需已知每层的。此时：分层随机抽样中，若总样本量n较大，则与分别为Y与的近似无偏估计，其方差为17从偏倚的角度看，各层分别比估计量的偏倚较大，从方差的角度看，除了各层比率均相等时，外，一般只要各层的样本量均较大时，各层比估计更加有效，即有：因此,当均大时,用分别比估计量，否则，用

6、联合比估计量较好。三、各层分别比估计量与联合比估计量的比较18第三节回归估计的一般形式一、回归估计概述回归估计就是根据样本各单元调查变量与辅助变量间的关系构造回归方程，并据回归系数对总体有关参数进行估计。如果在回归估计中只有一个辅助变量，则所进行的估计称为一元回归估计，若同时采用多个辅助变量综合进行估计，则称为多元回归估计。19回归估计的主要特点有：回归估计充分利用了有关的辅助变量资料以有效地提高估计的精度；回归估计中要求辅助变量的总体均值或总和事先已知；回归估计一般只适用于有限总体，因为只有有限总体才可能计算出辅助变量的总体均值和总和；回归估计量一般优于比估计量和简单估计量。20二

7、、回归估计量的一般形式对于简单随机抽样，总体均值与总和Y的线性回归估计量定义为：1.β为设定的常数(如)时的情形回归估计量则为：在简单随机抽样中，是的无偏估计量。其方差为：22为的无偏估计量.当时，的方差达到极小，且232、β需从样本计算时的情形当β需从样本计算时，受前面确定的最佳值的思路的启发，β的一个有效估计应是总体回归系数的最小二乘估计，也即取β为样本回归系数ｂ。此时总体均值的回归估计量为此时是有偏的。24当ｎ很大时，有由于｜ρ｜≤1，故(ρ＝０时，