等腰三角形三线合一

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1、1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."（1）求证：△BCE≌△DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证：（1）BD平分∠ABC；（2）△BCD为等腰三角形.3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．⑴试说明：BE=CF；⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、

2、G，连接BE、BF、GD求证：(1)△BEF为等腰直角三角形；（2)∠ADC＝∠BDG.5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH＝BH（2）求证：BD＝CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE. （1）求证：△ABC≌△EDC；（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.①求∠

3、DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.参考答案1、（1）证明见解析（2）12、（1）证明见解析（2）证明见解析3、(1)证明详见解析；(2)10．4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析6、（1）略（2）①∠DHF="60°"②略【解析】1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE,"在证明就可以得出DF=BE；(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F∴CE=C

4、F,                             在Rt△BCE和Rt△DCF中,∵ CE=CFBC=CD,∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．         （2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB，设DF=EB=X                   由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）  可知AF=AE  即：AD+DF=AB-BE                     ∵AB=17，AD=9，DF=EB=x∴9+x=17-x      解得，x=4∴AE=AB-BE=17-4=1点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全

5、等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证；（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证.试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线，∴AD=BD，则∠A=∠ABD=36°，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠DBC=36°，因此，BD平分∠ABC；（2）由①和∠2="36°"∠C="72°"，∵∠BDC=180°-36°-7

6、2°=72°，∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC，∴△BCD为等腰三角形.3、试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．试题解析：连接DB、DC，（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵DG垂直平分BC，∴DB=DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD

7、（HL），∴BE=CF；（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴AF=AE=3，由（1）得：BE=CF，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=B