一类非线性混合隐变分不等式迭代算法的收敛性分析

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1、一类非线性混合隐变分不等式迭代算法的收敛性分析摘要：近年来，随着变分不等式的不断发展，广义变分不等式中有一类对研究经济学、工程学、运筹学和数学物理学等领域中所涉及的各种平衡问题都非常有用的变分不等式，它被称为非线性混合隐变分不等式（简称IMVI）。众多学者努力用高效的、可实现的迭代算法去解决这类非线性隐变分不等式问题。　　在文中主要对这类非线性隐变分不等式问题进行了以下两方面的研究：　　在第三章中，在空间上引入了一类只具有一般单调性质的非线性混合隐变分不等式问题。考虑到单调映射的相关性质和预解算子的

2、非扩张性，在证明了IMVI问题等价于求解残差问题之后，我们构造出了一类新的Mann迭代算法，并证明了Mann迭代序列收敛于该非线性混合隐变分不等式问题的解及其他相关结论。　　在第四章中，在空间上研究了一类更加广义的非线性隐变分不等式问题。并由广义投影算子的相关性质，参照文献[15]中的迭代算法,我们同样构造出了一类新的迭代算法。在此基础上，证明了该迭代序列收敛于隐变分不等式问题的解及其他相关结论。关键词：非线性隐变分不等式；非扩张映象；Mann迭代算法；广义投影；残差；收敛；第1章前言1.1所选课题

3、的背景、目的及意义“变分不等式”通常又被人们称作“变分不等方程”，它的英文名为“Variationalinequality”。近年来，随着变分不等式的不断发展以及它与人们的实际生活紧密联系，它被广泛地用来解决工程优化，经济学，运筹学和数学物理学等领域中产生的平衡问题。因此，如何稳定、高效的求解变分不等式问题一直是经济学家和数学工们毕生研究的热点问题。1.2国内外研究动态　　纵观近些年来众多学者对变分不等式(简称VIP)的研究,大致可以分为算法和理论两个方面:一方面，在变分不等式理论发展过程中，迭代算

4、法是一个非常重要的研究分支。其中，包括投影算法、Mann和Ishikaan-stampacchia提出了经典的变分不等式问题；1953年Mann[2]首次提出了Mann迭代；1964年G.Stampacchia[3]把Lax-Milgram定理由Hilbert空间推广到它的非空闭凸子集，从而得到变分不等式的第一个解的存在唯一性定理；1972年KyFan[4]首次由经典变分不等式问题推广得到隐变分不等式问题；1974年Bruch[5]在实的Hilbert空间中研究了Mann迭代序列的收敛性；受Mann

5、迭代的影响，1974年Ishikaa[13]在实的Hilbert空间中对一类具有松弛单调映射的变分不等式作了初步研究，并给出了解的存在性定理；1997年何炳生[14]用一种投影算法研究了一类非线性集值变分不等式问题；1998年黄南京[15]用一种新的算法研究了一类非线性集值变分不等式解的收敛性；1999年ann迭代序列和修正的Ishikaad[33]研究了一类新的弱集值向量F-隐变分不等式问题；2013年李丽[34]研究了一类广义集值变分不等式与互补问题的算法及收敛性问题。2014年Li,Li和Hu

6、ang[35]在Hilbert空间中用广义f-投影算子研究了一类逆变分不等式问题，并给出了一个有关交通网络的平衡控制问题。第5章结论与展望5.1论文的主要工作　　在第三章中，在空间上，受到文献[21]中黄南京和方亚平利用一类迭代序列收敛于非线性混合隐变分不等式的解的启发。首先，把求解非线性隐变分不等式的解转化为残差问题。其次，构造了一个新的Mann迭代序列收敛于隐变分不等式的解，并对其解的收敛性进行了相关分析，及推广了文献[21]中的结论。　　　在第四章中，在空间上，引用了文献[35]中的一类更加广

7、义的非线性隐变分不等式问题。首先，把求解非线性隐变分不等式的解转化为残差问题。然后，利用广义投影算子的相关性质和