《概率论结课论文》word版

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1、条件期望的性质和应用1条件期望的几种定义1.1条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。定义1离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为，，对一切使的，称为给定条件下X的条件分布列。此时条件分布函数为；同理，对一切使的，称为给定条件下Y的条件分布列。此时条件分布函数为。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。定义2连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为，边际密度函数为和。对一切使>0的，给定条件下X的条

2、件分布函数和条件密度函数分别为，；同理对一切使>0的，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度8函数分别为，。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。2条件期望的性质2.1一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数学期望的所有性质。性质1若c是常数，则；性质2对任意常数，有；性质3对任意的两个函数和，有；性质4若、相互独立，则。根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论1，其中均是常数时，特别有。推论2若相互独立，则。注意：对于“和”，不要求相互独立，对于“积”，则要求相互独立。2.2特殊性质引理随机变量和的相关系数在坐标

3、平移变换中保持不变。证明：设平移变换，（为常数）由期望和方差的性质易知83条件期望的应用3.1利用条件期望计算数学期望由条件期望的定义1可知，要计算，可取在条件下，的条件期望的加权平均，加在每一项的权重等于作为条件的那个事件的概率，这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。解：令表示进入这个景点的游客人

4、数，令表示第个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为，现在有而(由与的独立性知)其中。这意味着，因此故由上面的结果可知，某天游客总消费钱数的期望值为300元。例2一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？解：令表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），表示他最初选定的门，应用全数学期望公式，有8，易知；现在考虑计算。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小

5、时后又转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此，他要到达安全地点平均还需要小时，故；类似地，有，从而。解得。所以他到达安全地点平均要花15小时。此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一说明。例3箱内有个白球和个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得白球为止，求被取出的黑球的平均数。解：设表示被取出的黑球数，记，定义，如第一个被抽出的球是白色；，如第一个被抽出的球是黑色。则。但是，，于是，,。用归纳法易证。3.2利用条件期望求随机变量的方差因为对任一随机变量，有公式，因此可用条件期8望来计算方差。例4若保单持有人

6、在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元；若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第张保单理赔的概率分布。解：用表示理赔次数，表示有死亡事故发生需要赔付；则表示事故发生不需要赔付。若用表示需要赔付的数额，不再是一个常数，而是一个与有关的随机变量，依题意有，而且令，则，。因此，记，其中的条件分布概率为，且有则8例5接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为。设表示出现首次成功所需的试验次数，求。解：设，如第一次实验结果成功；，如第一次实验结果失败。因为因此

7、或故在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。3.3条件期望在商业决策中的应用在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公计算条件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。例6三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占。平均说来，机器甲生产的零件有不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是和。