立体几何大题练习(文科)

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时间:2018-11-18

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1、立体几何大题练习(文科):1.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;(2)若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,求侧面△SAB的面积.【分析】(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理和余弦定理,可得AD,由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证;(2)运用面面垂直的性质定理,以及三棱锥的体积公式,求得BC=1,运用

2、勾股定理和余弦定理,可得SA,SB,运用三角形的面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=,设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∠BCD=90°,可得BD=a,∠CBD=45°,∠ABD=45°,由余弦定理可得AD==a,则BD⊥AD,由面SAD⊥底面ABCD.可得BD⊥平面SAD,又BD⊂平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD;(2)解:∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,由AD=SD=a,在△SAD中,可得SA=2

3、SDsin60°=a,△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a,由SH⊥平面BCD,可得×a××a2=,第12页(共12页)解得a=1,由BD⊥平面SAD,可得BD⊥SD,SB===2a,又AB=2a,在等腰三角形SBA中,边SA上的高为=a,则△SAB的面积为×SA×a=a=.【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用,注意运用转化思想,考查三棱锥的体积公式的运用,以及推理能力和空间想象能力,属于中档题. 2.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不

4、重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,第12页(共12页)所以AB∥EF,又因为EF⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在

5、线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题. 3.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点M和N分别是B1C1和BC

6、的中点.(1)求证:MB∥平面AC1N;(2)求证:AC⊥MB.第12页(共12页)【分析】(1)证明MC1NB为平行四边形,所以C1N∥MB,即可证明MB∥平面AC1N;(2)证明AC⊥平面BCC1B1,即可证明AC⊥MB.【解答】证明:(1)证明:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为点M,N分别是B1C1,BC的中点,所以C1M∥BN,C1M=BN.所以MC1NB为平行四边形.所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N,MB⊄平面AC1N,所以MB∥平面AC1N;(2)因为CC1⊥底面ABC,所以AC⊥CC1.

7、因为AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.因为MB⊂平面BCC1B1,所以AC⊥MB.【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 4.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD

8、

9、BC,PD⊥底面ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:PA∥平面BMQ;(Ⅱ)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.【分析】(1)连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MN∥PA第12

10、页(共12页),利用线面平行的判定定理可证;(2)由(1)可知,PA∥平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离.【解答】解:(1)连结AC交BQ于N,连结MN,因为∠ADC=90°,Q为AD的中点,所以N为AC的中点.…(2分)当M为PC的中点,即PM=MC时,MN为△PAC的中位线,故MN∥PA,又MN⊂平面BMQ,所以PA∥平面B

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