数学模型与建模

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1、第一、二章数学模型与建模数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。一.模型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如:航空模型对飞机的一个抽象，城市交通图对交通系统的一个抽象二.数学模型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。例1：牛顿定律假设：1.物体为质量为m的质点，忽略物体的大小和形状。2.没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力F。引入变量x(t)表示在t时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律，这就是牛顿定律的数学模型。例2：哥尼斯堡七桥问题问题：能否从某地出发，

2、通过每座桥恰好一次，回到原地？由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。三.数学模型的特征1.实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2.应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。3.综合性：数学与其他学科知识的综合。四.建模举例数学建模（Mathematicalmodelling)是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。下面给出几个数学建模的例子，重点说明：如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题

3、，或根据实际情况改进模型。例1.管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。假设：1.直圆管，粗细一致。2.带子等宽，无弹性。3.带宽小于圆管截面周长。4.为省工,用缠绕的方法包扎管道.参量、变量：W：带宽，C：圆管截面周长，q：倾斜角（倾斜角）包扎模型（截口）包扎模型进一步问,如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？设管道长L,圆管截面周长C,带子宽W,带子长M.带长模型问题:1.若L=30m,C=50cm,W=30cm,则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?2.现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上

4、面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)例2.桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。假设：1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。2.地面的起伏是连续变化的。3地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。参数，变量。1.如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记xA，xB、xC、xD分别为脚A，B,C,D与地面的距离。则当xA=xB=xC=xD=0时，桌子的四个脚同时着地。2.如何用数学的语言描

5、述让桌子的四脚着地？定位：方桌的对称中心O位于平面坐标原点移动：桌子围绕中心转动。记q为AC与X轴的夹角,则可用q表示桌子移动的位置。q0££.于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。令f(q)=xA(q)+xC(q),g(q)=xB(q)+xD(q)如果在位置q*桌子四脚落地,则有f(q*)=g(q*)=0.根据假设2知f(q)和g(q)是连续函数，根据假设3有f(q)·g(q)º0，"q.根据假设1有f(q1)=g(q0)和g(q1)=f(q0),其中q1=q0+900模型：已知f(q)和g(q)是连续

6、函数，f(q)·g(q)º0，"q.若f(q0)=0,g(q0)>0,则存在q*使得f(q*)=g(q*)=0。证明：因为f(q1)=g(q0)>0,g(q1)=f(q0)=0,令h(q)=f(q)-g(q),则h(q)连续且h(q0)<0,h(q1)>0.所以，根据连续函数的介值定理知，存在q*,q0£q*£q1,使得f(q*)=g(q*)=0。问题：1.将例4的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：

7、00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。例3：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？假设1.车辆相同，从静止开始做匀加速运动。2.车距相同，启动延迟时间相等。3.直行，不拐弯，单侧，单车道。4.秩序良好，不堵车。参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻t第n辆车的位置Sn（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向,数轴原点为红绿灯的位置。于是,当Sn(30)>0时,表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。模型1.停车位模型：Sn（0

8、）=–(n-1)(L+D