高中数学《立体几何》大题及答案解析

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1、高中数学《立体几何》大题及答案解析(理)1.(2009全国卷Ⅰ)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,。(I)证明:是侧棱的中点;求二面角的大小。2.(2009全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1(Ⅰ)证明:AB=AC(Ⅱ)设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小3.(2009浙江卷)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值.4.(2009北京卷)如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.

2、(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.5.(2009江西卷)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.(1)求证:平面⊥平面;(2)求直线与平面所成的角;(3)求点到平面的距离.6.(2009四川卷)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,(I)求证:;(II)设线段、的中点分别为、,求证:∥(III)求二面角的大小。7.(2009湖北卷文)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<≦1).(

3、Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。8.(2009湖南卷)如图3,在正三棱柱中,AB=4,,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEE.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。9.(2009四川卷)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,(I)求证:;(II)设线段、的中点分别为、,求证:∥(III)求二面角的大小。10.(2009重庆卷文)如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:(Ⅰ)直线到平面的距离;(Ⅱ)二面角的平面角的正

4、切值.11.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.12(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点(1)证明:PEBC(2)若APB=ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值参考答案1、【解析】(I)解法一:作∥交于N,作交于E,连ME、NB,则面,,设,则,在中,。在中由解得,从而M为侧棱的中点M.解法二:过作的平行线.(II)分析

5、一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则。SABCDMzxy(Ⅰ)设,则,,由题得,即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2:设,则又故,即,解得,所以是侧棱的中点。(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,设分别是平面、的法向量,则且,即且分别令得

6、,即,∴二面角的大小。2、解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。由得2AD=,解得AD=。故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BC

7、D⊥平面DEF。连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。.因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC,=0,求得b=1,所以AB=AC。(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又=(-1,1,0),=(-

8、1,0,c

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