角平分线的性质定理

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时间:2018-11-20

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1、角平分线的性质第一课时不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)情境问题1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?2、证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角

2、形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCE探究新知活动3NOMCENM2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.如何用尺规作角的平分线?ABOMNC作法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OBN于.3.作射线OC.则射线OC即为所求.OABNMC证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中OM=ONMC=NCOC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠AOB的角平分线

3、.1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?ABOCD探究角平分线的性质(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明:在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究

4、角平分线的性质∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵点P是∠AOB平分线上的一点又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)AOBEDP证明线段相等有角的平分线,有垂直距离应用定理的前提条件是:定理的作用:如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OABEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直思考:要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距

5、离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?(比例尺1:20000)SO公路铁路如图:在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EBACDEBF实践应用(2)分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,F在AC上BD=DF,求证:CF=EB。证明

6、:∵AD平分∠CABDE⊥AB,∠C=90°(已知)∴CD=DE(角平分线的性质)在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE(已证)DF=DB(已知)∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB(全等三角形对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.ABEDCF证明:∵AD平分∠CABDE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线的性质)在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF(已证)BD=CD(已知)∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF(全等

7、三角形对应边相等)小结:1:画一个已知角的角平分线;(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线;2:角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3:角平分线的性质的应用BOAC·DPE1.如图,OC是∠AOB的平分线,∵∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB思考:由PD=PE能不能得到PD⊥OA,PE⊥OB?1、如图,连接角平分仪的边BD、AC,那么AC与BD有什么关系?为什么?提高与拓展2.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。EDCBA例1已知:在等腰Rt△A

8、BC中,AC=BC∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E。求证:BD+DE=AC变式已知AB=15cm,求△DBE的周长EDC

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