养鱼问题的数学模型

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1、养鱼问题的数学模型分析及评价苏润中周丽蓉茶本卫摘要：本文是基于原假设的条件下，做出一些必要的简化假设，先对问题本身进行讨论，接着对该问题得出一些制约等式，再利用MATLAB进行求解，得到相应的结果，从而得到最佳养鱼方案，并作出评价。关键词：鱼苗成鱼最大利润最大利用率一、问题重述设某地有一池塘，其水面面积为100×100，用来养殖某种鱼，在如下的假设下，设计能获得较大利润的三年养鱼方案。①鱼的存活空间为；②每1kg鱼每天要的饲料喂0.05kg，市场上饲料的价格为1.2元/kg；③鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约500条鱼；④鱼可以四季生长，每天生长的重

2、量是与鱼的自重成正比，360天就长为成鱼，成鱼的重量为2kg；⑤池内鱼的繁殖和死亡均忽略；⑥若q为鱼重则此种鱼的售价为：⑦该池内只能投放鱼苗。二、问题分析（模型准备）该问题考虑的限制：a.一定鱼塘空间的利用率，要获利最大就要求每天鱼池空间最高利用，因此每天都要捞取一定数量的鱼，保证整个空间在捞之前的一刻全部用到。b.一个鱼的重量与其售价有一定关系，一条鱼长到多重时买得的利润最大，故整个三年时间存在三个时期：前期（准备期），稳定期，末期前期是为稳定时期做准备的，要保证在达到稳定条件的情况下，能获得最大；稳定期是指每天捞鱼与放养的数量一定，获利最大；末期即为

3、不再放养鱼，只捞鱼。在以上条件的制约下，如果要想获得最大利润，那么就必须满足一下情况划分即把三年划分为三个时期具体情况如下图所示：前期：稳定期：末期：0天243天852天1095天2.1、鱼生长函数的确定由题目可得一条鱼每天的重量满足下列关系式………………………（1）由一条鱼生长365天后长成成鱼重量为2千克。可得。由（1）式通过计算可得到。2.2、一条鱼在不同时间获得的利润满足如下可得,且有时获利最大。2.3、鱼塘空间的利用率分析题目可知在之前的时间段内鱼塘里只能养鱼才能保证利润尽可能的多，此阶段鱼塘空间的利用率是每天都在提高，且不能达到100%。在之

4、后的时间段内要停止养鱼才能保证利润尽可能的多，此阶段鱼塘空间的利用率是每天都在降低。在到时间段内既可以养鱼也可以捕鱼，因此存在一种动态的平衡，此阶段鱼塘空间的利用率是可以达到100%的。因此将三年时间分为前期、中期、后期。三、符号说明与基本假设3.1符号说明：一条鱼的重量：一条鱼的日增长率：鱼的生长天数：分别为鱼生长到0.2千克，0.75千克，1.5千克，两千克所需的时间：分别为一条鱼生长到0.2—0.75千克，0.75—1.5千克和1.5—2千克三个阶段每千克鱼的单价和鱼的重量。：一千克鱼每天所需饲料的花费：鱼塘空间的日均利用率3.2基本假设1、池塘的

5、水质无污染、阳光充足、温度适宜……鱼的生长的条件最佳；2、每天对鱼塘投放充足的饲料，且饲料都被充分的利用；3、捕捞时不会对放入鱼苗及鱼的增长有影响；4、可以控制捕捞的数量及大小，且每天都能把捕捞到鱼全部卖出；5、忽略种内斗争及种间竞争；6、鱼的售价不随时间的变化而变化，即保持原假设不变；7、鱼塘空间日均利用率等于80%为最佳方案。四、模型建立及模型求解4.1模型建立4.1.1中期：由前面的分析设从243天到852每天捕鱼千克，放养鱼苗b千克，其中第243天至第365天捕鱼为池中最大鱼。则有...........................（2）且有第

6、n（）天捕鱼数量为第n-364天放养的鱼苗的数量所以有…………………………………（3）……(4)4.1.2、前期由中期捕鱼方案可知前期投放鱼苗的方案为第一天投放y千克的鱼苗，从第二天到第243天每天投放b千克的鱼苗。则满足如下关系式…………………………………(5).......................(6)4.1.3、后期由中期投放鱼苗的方案可知后期的捕捞方案为从第852天到最后一天每天都捕成鱼a千克，除此而外最后一天还需将第711天至第852天投放的鱼苗全部捕捞。…………………………（7）4.1.4、总收益…………………………（8）4.1.5、

7、鱼塘空间日均利用率……………………………（9）4.2模型求解4.2.1、利用MATLAB编程求解（程序见附表一），可以求得y=90.9112，a=1.8766×,b=0.18766，m=1.081158×。即得投放和捕鱼的方案如下：第一天投放90.9112千克鱼苗，从第二天起到第852天每天固定投放0.18766千克鱼苗，第852天到第1095天不投放鱼苗，第243天到第1094天每天捕鱼90.9112千克，第1095天把鱼塘里的鱼全部捕捞，其中第243天至第365天是捕捞当时在鱼塘中最大的鱼，第365天到第1094天每天捕捞重量为2千克的成鱼。4.2.

8、2、利用MATLAB编程求得（程序见附表二）4.2.3、鱼塘空间每天的利用情况见