直角坐标系中的平移变换与伸缩变换.doc

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1、1.1直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系(即数轴)。它使直线上任意一点P都可以由惟一的实数来确定。2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为、轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P都可以由惟一的二元有序实数对来确定。3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为、、轴，它们的交点作为坐标

2、原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数对来确定。事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换1.平移变换在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移。若以向量表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量平移．在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为，向量，平移后的对应点为.则有：即

3、有：.因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由所确定的变换是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。例1.①.已知点按向量平移至点Q，求点Q的坐标；②.求直线按向量平移后的方程。一般地我们有如下关于平移变换的结论：①.将点按向量平移，所得点的坐标为：.②.将曲线按向量平移，所得曲线的方程为.注：点按向量平移，得点，即：；直线按向量平移，得直线，即：.2.有关曲线平移的一般性结论①.直线，按向量平移后得直线.过点.②.曲线，按向量平移后得曲线中心为.③.曲线，

4、按向量平移后得曲线中心为.④.曲线，按向量平移后得曲线中心为.⑤.曲线，按向量平移后得曲线顶点为.例2.说明方程表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换1.伸缩变换例3.我们已经知道，方程所表示的曲线可以看作由方程所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的曲线；同理，将方程所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程所表示的曲线.这也就是说，方程所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程所表示的曲线．实际上，设，则可以化为.由，所确定的变换，是曲线上所

5、有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着轴的伸缩变换(这里是变换前的点，是变换后的点)．一般地，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(这里是变换前的点，是变换后的点).同理，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍(这里是变换前的点，是变换后的点).由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着轴和按伸缩系数向着

6、轴的伸缩变换(当时，表示伸长，时，表示压缩；当时，表示伸长，当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍和倍(这里是变换前的点，是变换后的点).在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢?我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．例4.对下列曲线向着轴进行伸缩变换，伸缩系数是.①.；②..(设是变换前的点，是变换后的点).注：①.直线经过伸缩变换后的方程为，它仍然表示一条直线；②.圆经过伸缩变换后的方程为，它变为椭圆.2.有关曲线伸缩变换的一般性结论①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因

7、此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。②.曲线在伸缩变换（或或）作用下（时表示拉伸，时表示压缩），所得曲线的方程为：（或或）.③.曲线上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的，可得曲线（或或，时表示压缩，时表示拉伸）.例5.设曲线，，，.由曲线经过何种变换可以得到曲线、、.例6.设是与的中点，经过伸缩变换后，它们分别为，求证：是的中点．(设是变换前的点，是变换后的点).四.典型例题1.两个定点的距离为4，点M到这两个定点的距离的平方和为16，则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.将函数图象上所有点的横

8、坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为（）A.B.C.D.3.将点变换为点所用的伸缩变换公式是（）A.B.C.D.4.①已知点按向量平移至点Q，求