柯西积分公式及高阶导数公式

《柯西积分公式及高阶导数公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章复变函数的积分第3节柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式设B为单连通域,f(z)在B内解析,z0∈B,在C内部作CR:

2、z-z0

3、=R(取其正向)绕z0的任一正向简单闭曲线,则设C为B内BC一、柯西积分公式定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内部的任一点,则DC证明:由于f(z)在z0连续,DCCRzz0R且R0,存在d>0,当

4、z-z0

5、

6、f(z)-f(z0)

7、

8、z-z0

9、=R(

10、取其正向),=0——柯西积分公式特别,如C:

11、z-z0

12、=R,z=z0+Reiq,则上式成为说明:1)这里的D可为单连通域，也可为多连通域；只要f(z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析,且z0在C的内部,则柯西积分公式也成立。2)柯西积分公式的含义3)柯西积分公式的应用:可求积分a)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.要注意:函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过积分唯一确定。例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:例2：求其中C为包含圆周

13、z

14、=1在内的任意正向简单闭曲线.如果各阶导

15、数存在,并且导数运算可在积分号下进行,则由,解析函数的积分表达式为(1)解析函数是否存在各阶导数?(2)导数运算可否在积分号下进行?高阶导数公式.二、高阶导数公式高阶导数公式定理(高阶导数公式)设函数f(z)在区域D内解析,z0在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线,且C的内部全含于D,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且说明:1)解析函数具有任意阶导数；可用函数f(z)在边界上的值通过积分唯一2)确定。说明:3)高阶导数公式的应用:可求积分a)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.要注意

16、:高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.证明首先考虑n=1的情形.因为z0在C的内部,故当

17、z

18、适当小时,z0+z也在C的内部.所以应用于是可知因为f(z)在C上解析,所以在C上连续,故有界.于是存在M>0,使得

19、f(z)

20、M.又因为z0是C内部区域内的点,所以存在R>0,使在C的内部区域.因此当z在C上时,取则所以其中L是曲线C的弧长.利用类似的方法可求得因此,当时,从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.例1.求积分解因为函数在复平面解析,在内,n=3,根据例2.求积分

21、解因为函数在复平面解析,在内,n=1,根据例3.求积分解.函数在C内的处不解析.在C内分别以i和-i为中心作正向圆周C1和C2,由其中C是正向圆周于是同理柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理设B为单连通域，则f(z)在B内解析C为B内任何一条闭曲线。？Morera定理设B为单连通域，如f(z)在B内连续，且对B内任何一条简单闭曲线C,有则f(z)在B内解析。典型例题例4.计算积分解由,例5.设C表示正向圆周求于是而1+i在C内,所以解根据,当z在C内时,例6.计算积分其中解(1)根据,(2)根据,

22、(3)根据以及前面的结果,解例7.求积分其中n为整数.(1)n0时,函数在上解析.(2)n=1时,由得由得可得(3)n>1时,根据例8.计算积分其中C是正向圆周解因为函数在C内z=1处不解析,但在C内处处解析,所以根据作业P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；7(1,3,5)；8；11;14.P60-61：9；15.