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《近世代数第四章-整环里的因式分解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四章整环里的因式分解§1.素元、唯一分解 本讲中,总假定为整环,为的商域.1.整除定义1设为整环,,如果存在,使得则称整除,记作;并称是的一个因子,是的倍元.·整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广,因此有许多与整数的整除相类似的性质.·整除有下列常用的性质: (1)如果,,则; (2)如果,,,则. 2.相伴定义2整环的一个元叫做的一个单位，假如是一个有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１ 两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１
2、与-１，故任一非零元有２个相伴元：与.例２ 有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4设为整环，，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２ 单位与素元的乘积也是一个素元.定理３ 整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论 设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环的元在中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i)(为的素元)(ii)若同时有（为的素元
3、）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３ 给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先 ，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解.这说明并不是任意整环中的非零和非单
4、位的元都有唯一分解. $2.唯一分解环定理１ 一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２ 做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３ 一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论 一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义 一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的
5、最大公因子是单位.$3.主理想环引理１ 设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２ 设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理 一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下
6、，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4.欧氏环定义 一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(
7、ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例 整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射. 定理１ 每一个欧几里德环都是主理想整环,因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想,为欧氏映射. (1)如果,则. (2)如果,令则非空,且.设,使得为中的最小数,下证. 任给,因为,所以存在,使得.于是,. 如果,则,与的选取矛盾.所以,,则,于是.由的任意性可知. 又,所以,
8、从而. 这就证明了,的任一理想都是主理想,故为主理想整环.定理２ 整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３ 一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环. $５.多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如
