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1、建立数学模型解决物理问题赖文奇黄代敏（浙江省永康市明珠学校浙江永康321300）摘要：通过对物理问题的探索和求解,总结出中学物理问题的基本规律和基本方法:建立与物理问题对应的数学模型,化物理问题为数学问题,从而用中学数学知识和思想方法求出物理问题.关键词：物理教学数学知识数学模型随着新课考改的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活整合，将会拓展优化解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。点到直线的距离公式、均值不等式、二次函
2、数的性质、求导数、因式分解、三角函数、有关圆的知识、数形结合思想等中学数学知识，在高中物理解题中都有广泛的应用。在求解物理过程中要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。利用数学解决实际问题的一般模式如下：实际问题建立数学模型数学模型的解实际问题的解抽象概括推理演算还原说明（一）二次函数性质的应用：例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少
3、？解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。当。说明1：对于典型的二次函数,若,则当时,y有最小值，为第5页；若,则当时,y有最大值，为。说明2：对于一元二次方程有解的充要条件是；极值为：。对于例题1，我们可以转化为二次方程求解：将可转化为一元二次方程：，要使方程有解，必使判别式，解不等式得：，即最大值为6m（二）均值不等式的应用：例2、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在
4、运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgυcosα=mgυsinθ…………①θvmgABCOLTθα图1小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：……………②解①②可得：令y=cosθsinθ由基本不等式知：当且仅当，y有最大值∴当时，y及功率P有最大值。说明：1、如果a，b为正数，那么有：，当且仅当a=b时，上式取“=”号。若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，则两数相等时积最大。说明2、如果a，b，c为正数，则有
5、，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。(三)三角函数、平面向量知识的应用bθθmgN图2例3、如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。解：设斜面倾角为θ时，斜面长为S，物体受力如第5页图所示，由图知…………①由匀变速运动规律得：…………②由牛顿第二定律提：m
6、gsinθ=ma…………③联立①②③式解得：可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t有最小值。即θ=45°时，有最短时间为：。说明：y=sinx的值域是[-1，1]，当x=时有最大值1。NFfmgθ图3例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关
7、系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，即……①……②…………③由联立①②③解得：,其中,∴ΦFF'ΦΦGFFF''F'''图4说明1：的最大值为。说明2：对于例题4，我们也可用矢量知识求解：将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图，F’与竖直方向的夹角为（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F与F’垂直时，即拉力与水平方向成角时，拉力F最小为，而，
8、故（四）数学思想“数形结合”在解物理题中的应用例5、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大
