压电铁电物理-振动模式

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1、其它振动模式薄圆片压电振子的径向伸缩振动;其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动能陷振动模1wangcl@sdu.edu.cn振动模式材料参数等效电路器件设计阻抗、导纳2wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的径向振动对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数s11=s22的压电晶体，例如钛酸钡、铌酸锂等晶体，可用它的z切割薄圆片的径向振动。用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直。因为是薄圆片，所以可以近似认为垂直于圆片面方向的应力Xz=0。3wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的压电方程组因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r方向

2、和方向的Xr0，X0，而切应力Xr=Xrz=Xz=0。因为电极面就在圆片面上，所以只有沿z方向的电场强度分量Ez0，而沿r和方向的电场强度分量Er=E=0。4wangcl@sdu.edu.cn又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0。选X、E为自变量，并注意到弹性柔顺常数s11=s22以及压电常数d31=d32，于是薄圆片压电振子的压电方程组为：（5-37）5wangcl@sdu.edu.cn第二类压电方程组若以（x、E）为自变量，有（5-37）式可得6wangcl@sdu.edu.cn实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性柔顺常数sE11、sE12，将Y=1/

3、sE11，=-sE12/sE11关系代入上式得：7wangcl@sdu.edu.cn（5-38）式就是以应变和电场（x、E）为自变量，用柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中沿r方向的伸缩应变xr=（ur/r），沿方向的伸缩应变x=ur/r+(u/)/r。因为薄圆片的径向伸缩振动具有圆对称性，所以(u/)=0。在此情况下，沿方向的伸缩应变简化为x=ur/r。8wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的振动方程若圆片密度为，则小的质量为（见图5-7）；若为小块bcde沿径向的位移rddr，则小块沿径向加速度为2ur/t2。小块的运动方程为：

4、9wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的质量元图5-710wangcl@sdu.edu.cn由于dr和d都很小，故有11wangcl@sdu.edu.cn忽略X与X’的差别（即认为X=X’）。将这些结果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，即：（5-39）12wangcl@sdu.edu.cn将压电方程组（5-38）式代入上式，并注意到（Ez/r）=0，即得13wangcl@sdu.edu.cn利用关系代入14wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的波动方程。（5-40）其中波速：15wangcl@sdu.edu.cn波动方程式的解薄圆片压电

5、振子的波动方程式的解为其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。FirstorderBesselfunction（5-41）16wangcl@sdu.edu.cn现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边界为机械自由，则在边界上的应力Xr等于零。即由（5-38）式的第一式时（5-38）式17wangcl@sdu.edu.cn若电场强度分量为:并注意到代入到上式得：（5-42）18wangcl@sdu.edu.cn利用边界条件r=a时，Xr

6、a=0，即可确定任意常数A，由即得（5-43）19wangcl@sdu.edu.cn将（5-43）式代入到（5-41）式即得满足自由边界条件的

7、解为(5-44)由（5-44）式代表的波形，如图5-8所示。20wangcl@sdu.edu.cn图5-8自由圆片的径向伸缩振动（a）自由圆片中的波形（b）自由圆片的伸缩情况(a)(b)21wangcl@sdu.edu.cnr-a0at=0ur(r,0)0t=/rur(r,/r)022wangcl@sdu.edu.cn将（5-43）式代入到（5-42）式即得沿r方向的伸缩应力为（5-45）23wangcl@sdu.edu.cn沿方向的伸缩应力为:（5-46）24wangcl@sdu.edu.cn沿r方向和方向的伸缩应变为:（5-47）25wangcl@sdu.edu.c

8、n电位移为:26wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的等效电阻通过压电振子电极面的电流I为而电极面上的电荷Q为27wangcl@sdu.edu.cn积分时注意到：即得28wangcl@sdu.edu.cn于是得到电流为（5-48）29wangcl@sdu.edu.cn薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗Z为将（5-48）式代入上式的30wangcl@sdu.edu.cn因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为以及将这些关系代入上式得31wangcl@s