函数展开成幂级数

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1、无穷级数第五节函数展开成幂级数第五节函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一.泰勒级数其中f(x)在的某邻域内具有n+1阶导数.余项此时,f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1.定义若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数2.泰勒定理:若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明略)注:(1)则f(x)在的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)

2、在的泰勒级数收敛于f(x),即泰勒展开式(2)如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称f(x)在可以展开成泰勒级数二.函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成x的幂级数.麦克劳林级数1.直接展开法(1)求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出(3)求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果则f(x)例将函数展开成x的幂级数收敛半径有限趋于零,因为收敛所以(循环)收敛半径所以0牛顿二项式级数注:α>－1时,展式在x=1成立;α>0时,展式在x=－1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和

3、幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例将函数展开成x的幂级数作变量替换例将分别展开成x的及x－1的幂级数①②例将展开成x－1的幂级数三.幂级数在近似计算中的应用有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算，即在展开式成立的区间上，可以按照精度要求，选取级数的前若干项的部分和，把函数值近似计算出来。例：求e的近似值解由的展开式取有根据不同的精度要求，取不同的n值例计算ln2近似值，要求误差不超过0.0001解练习