幂级数的应用

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1、幕级数的应用王石磊(沙河市劳动技工学校河北邢台054100)、级数是数学中非常重要的内容，其应用极其广泛。幂级数作为其中一种特殊的函数项级数，有着众多简捷的运算性质，在研究函数方面已成为一个很有用的工只。通过研究幂级数在其收敛IX间内可以逐项求导与逐项求积等性质，木文对幂级数在计算级数的和、计算积分、求解微分方程、近似计算等方面的应用展开了详细的、具体的讨论，并给出了具体实例加以说明。一、计算数项级数的和己知数项级数an收敛，若求an的和，可根据数项级数的特征，首先构造恰当的幂级数，求出其收敛区间，再根据定理1和定理2求出数项级数的和。例1.求级数-+-+…

2、的和。解.•令f(x)=-+-+…(-l<x<l)为所给级数的相应幂级数，微分两次：f″(x)=x-2x2+3x3-4x4+…(-l<x<l),xf″(x)=x2-2x3+3x4-4x5+".，f″(x)+xf″(x)=x-x2+x3-x4+x5+…，(1+x)f″(x)=x-x2+x3-x4+x5+〜=(-l<x<l),f″(x)=。再逐项积分得：f'W==ln(1+x)+-1，(-l<x<l)f(x)=f'(x)dx=(x+2)In(x

3、+1)-2x，(-l<x<l)根据上述结论：=llmf(x)=llm[(x+2)In(1+x)-2x]=3ln2-2二、计算特殊类型的不定积分灵活运用基本的积分方法，就能求出许多不定积分，然而对于某些特殊类型初等函数的积分来说，基本方法显然是不够的。比如∫dx类型的有理函数不定积分，如果用积分的基本方法，先把假分式化为多项式与真分式的和，再把真分式分解为部分分式，然后逐项积分，在理论上是可行的，但具体使用起来计算非常麻烦。幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便，只要将pn(x)在xO点展成级数。pn(x)=pn(xO)+(x-xO)+…+

4、(x-xO)n此时：+_)—+上式的每一项积分都很容易求得。例2.计算∫dx。解：设f(x)=6x4-5x3+4x2+l,将其在x=2点展开f(x)=73+(x-2)+(x-2)2+(x-2)3+(x-2)4,所以∫dx=∫dx+∫dx+∫dx+∫dx+∫6dx-+431n

5、x-2

6、+6x+c。三、在微分方程中的应用能用初等积分方法求解的微分方程毕竟是很少部分，除了求解过程中遇到的困难外，还由于一些重要的微分方程的解不是初等函数，但可以用幂级数来表示，从而达到简便求解的0的。例3.求解方程(l-x2)y

7、″-2xy′+n(n+1)=0。解••pi(x)=-、p0(x)=都可以在-l<x<l内展为x的幂级数。设解为y=akxk，(2)y′=kakxk-1，(3)y″=k(k-1)akxk-2，(4)把(2)、(3)、(4)代入原方程得：k(k-1)akxk-2-k(k-1)xk-2kakxk+n(n-1)akxk=O,[(k+2)(k+1)ak+2-k(k-1)ak-2kak+n(n+1)ak]xk=O，即ak+2=-akk=0,1,2…依次令k=0，1,2…，得：a2=-aO,al,a3=-a4=-

8、a2=aO,a5=-a3=al,因为aO、al可任意取值，于是通解为：y=aO[l-x2+x4-…]+al[x-x3+-…]运用幂级数也可求微分方程的近似解，苏思想就是把级数代入到微分方程中逐项求出级数的系数，然后取前若干项作为近似解。四、在近似计算方面的应用计算定积分的方法很多，然而利用这些方法的前提是原函数可以用初等函数表示出来。当f(x)的原函数难以求出或不能用初等函数的奋限形式表示出来吋，计算f(X)的定积分就遇到了困难。此吋我们可以尝试用幂级数来计算这些定积分的近似值。必须注意的是，在这个过程中，被积函数能够展成收敛的幂级数，并且积分的区间必须在幂

9、级数的收敛域之内，最后用逐项积分来计算值。例4.计算积分e-x2dx。解：因为e-x2的原函数不是初等函数，所以无法应用公式直接计算，这样可尝试把e-x2展开为幂级数进行近似计算。我们知道ex=l+x++…++…(-∞<x<+∞)，用-x2代替x得e-x2=l+x2++•••++…(-∞<x<+∞)，=[x-+x5-x7+x9'..]

10、00.2≈0.1973。幂级数的结构和性质决定了它的应用非常广泛，利用幂级数这个工具可以很好地解决学＞J中遇到的一些疑难问题，从而达到简化解题

11、过程、提高学效率的0的。