动力系统稳定性的发展研究

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1、动力系统稳定性的发展研究1引言动力系统的研究，19世纪末期即己开端，早在1881年起的若干年里，(J.-)H.庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究，讨论的课题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的着眼点，即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始。G.D.伯兑霍夫从1912年起的若干年里，以三体W题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年起的若干年时间里，以A.A.马尔可夫

2、总结伯克崔夫理论、正式提出动力系统的抽象概念为丌端，苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。Lyapunov稳定性的研究是常微分方程与动力系统的一个重耍课题。稳定性的研究主耍涉及两种情形：耗散系统和保守系统。对于耗散系统，其稳定性主要涉及时间轴上菜一方向(正或负)，Lyapunov阑数足进行此项研究的奋效手段。然而，保守系统稳定性指对任意吋间/，由靠近解x(r)的初值条件所解出解在相空间上均在x(r)的小领域内(不论止:负)，.其稳定性的研究很难的，因为李雅普诺夫笫一方法已不能适应。研究稳定性的经典工具有扪克霍夫标准形式和Mo

3、ser扭转定理，应川它们已有效解荇许多稳定性问题。近來，Ortaga发展形成了川分析理论研究时间周期Lagrangian方程的新方法，即所谓的三阶近似方法。首先，本文介绍了Lagangian方程的稳定性准则，给岀了扭转系数/?;发现了Hill方程与Emarkov-Pinney力龙解之间的关系并对Ermakov-Pinney的周期解和HHI方杜的旋转度作出佔计；W外，讨论丫特例Z+=稳定时/的范围，即考虑扭转系数夕。第二部分，i、J•论平側哈密顿系统，先阐述简肀情形的稳足刻M，而且根据难本解矩阵的Floquet乘子将简单平血哈密

4、顿系统划分为三种情形：椭圆型、双曲型和抛物型，再给出复杂条件的扭转系数公式，从而得出稳定时各系数的取值约朿。第三部分，考虑阻尼振子的Lyapunov稳定性：创立线性阻尼阵子Z++冰)％=0的稳定性准则，基于伯克霍夫标准形式的计算描述非线性阻尼阵子Z+++=0平衡点稳定的充分条件；最后利川三阶近似方法，得出非线性阻尼方程Z+/7⑴/+二0的第一扭转系数公式，作为例了，阐述超线性微分方程Z+/i(r)/+expW=r+0Z)和阻尼奇-异微分方程Z+h(t)x+a(t)x=考的稳定性结果。2Lagrangian方程考虑Lagrang

5、ian方程x〃+/(f，x)=0(2.1)此处，g=g(z，x)尺是r•周期函数，通过三阶近似方法，可将之变换为又"+a(t)x+b(t)x2+c(t)x3+o(x3)=0且满足a(t)=fx(t，⑽)，叭科初仰11，c(z)=^(z^(z))/6假设V⑴足方程(2.1)的解，为研究％⑺的Lyapunov稳定性，经典的方法足讨论式(2.1)的庞加莱映射p，而此r•周期解对应于映射p的一个不动点，故研究的稳定性只耍证明不动点的稳定性即可，即研究P的伯兑霍夫标准形式N(z，z)=A[z+ij3z2z+".]:W外，根裾Mose

6、r扭转定理，若第一扭转系数々不为零，则周期解是扭转的，即V⑺满足Lyapunov稳定。其扭转系数为2.7T#=JLW冲於⑷广⑺,J⑴义和(，)-识⑴I)"紐—$J*c(t)rt)dt’•80xg[0,^]2cos(x-612)cos3(%-612)16sin(^/2)16sin(3^/2)而函数r⑺是Emarkov-Pinney方程a(t)r=-^的唯一j

7、*:2；r•周期解，同时r例1摆(2.2)x"+a(t)sinx=0,a(t)>0,a{t)gC(R/2;rZ)稳记当J=L仅当X"+—=0稳定。6注：此结果由R.Ort

8、ega和其合作者证明。例2若h(t)EZ'(/?/rZ)={/?GL](R/TZ):h=0}则对于方程x"+ex=(J+h{ty(7ER(2.3)存在正常数当o^(o，z(r)]时，对XlheiXRITZ^，方程(2.3)有唯一r-周期解满足稳定性。注：于方程Z+x2二(J+A(r)，c7e/?，上面的类似结论亦可被证明。例3若/〉0，/关3，“(0€/；(/?/2疋2)，R.a(t)>0,则对于奇异方程"1x+a(t)x=—，x>0(2.4)xz存在正常数L(又)〉0，当“》0,0<

9、

10、“

11、

12、1<1(/)时，对V6/(f)g

13、LR/2^-Z),方程(2.4)冇唯一r-周期解满足稳定性。注：将第一•扭转系数看作/的函数，记为A(y),显然夕(y)是/的增函数，II成立以卜结论:(i)00<0，即上述例了满TILLyapunov稳定；(ii)/=3=>/?=0,不满足稳定性；(iii)/