利用导数求解参数问题(恒成立问题)经典题目

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1、用导数解参数问题已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。结论一、不等式/U）&⑻恒成立«［/⑶（求解/W的最小值）；不等式/（x）q⑻恒成立《［/wL>《⑻（求解/⑴的最大值）.结论二、不等式fM>g（a）存在解«［，⑵］max》《⑻（求解的最大值）；不等式/⑶4⑻存在解［/a）L9⑻（即求解/⑴的最小值）.一、（2008湖北卷）若f(x)=-^x2+/?1110¥+2)在(-1，+00)上是减函数,则。的取值范围是)二、若不等式2H>+M对满足1+2的所有、都成立，

2、求、的取值范解：设=-1)—(2x—1)，对满足

3、m

4、<2的m，/(m)<0恒成立:7(-2)<°f-2(^2-l)-(2x-l)<0-1+771+73•••<,、/Jz、解得：

5、函数/U)在区间(-1，1)不单调，等价于导函数幻在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数/Xr)在(-1，1)上存在零点，根据零点存在定理，有/’(一1)/’(1)<0,即:[3+2(1-a)-咖+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0整理得：(tz+5)(u+l)(“-l)2<0,解得-5<«<-l四、(新课程卷)若函数—丄flX2+(«—1)X+1在区间32(1,4)内为减函数，在区间(6,+00)内为增函数，试求实数《的取值范围.解：fx)=X1-CIX+(^-1)=(%-l)[x-(6Z-l)]令/

6、(x)=0,解得x=l或x=a-l,并且a关2,否则f(x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1，4)内为减函数，在区间(6,+0)內为增函数，可知函数f(x)在x=l处取得极大值，在x=a-l处取得极小伉。•••d^a-1^6得5

7、恒成立，即u

8、+/•••/'00=-3x+2x+Z.若/(X)在区间(-1，1)上是增函数,则有.f(x)>0»/^3x-2x在(-i，i)上恒成立.9191若令g(x)=3x-2a:=-3(x-—)33在区间卜1，1］上，g(x)=g(-l)=5,故在区间(-1，1)上使f彡g(x)恒成立，max只需(—1)即可，5、使不等式又4-2又2〉2—6Z对任意的实数都成立，求实数6Z的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令/(x)=/-2^2,则如果原不等式对任意的实数义都成立等价于/(%)〉2—6Lmin又/"(；v)=4;v3

9、-4x=4%2(x-1),令y"U)=o,解得，％=0或％=1.fM的符号及/(X)的单调性如下:8,(-)/9(00OO+9(1^zZ/1O1O+/(无极值极小值/因为/(X)在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即/(X)=/(l)=-i,min/.f(x)=->2-a,即tz〉3.min6、(天津理)若函数/(x)=log(X—关1)在区间(-i，0)内单调递增，则“的取a21QQQ值范围是()AL±J)B[-A)C(-,+oo)D(l,_)4444冬天的秘密取暖回忆回忆无香有阳光还感觉冷我站在分隔岛上没有方向不想回家你

10、太善良你太美丽我讨厌这样想你的自己此刻的我太甘心解析：/(X)是复合函数，须按0<6?<1及6Z>1两种情况考虑.令g(x)=x3-ax,V/u)在(-丄,0)上为增函数，2①若0<6/<1，