离散傅里叶变换(dft)

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1、离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourierTransform作业：1(1)(2)(3);8;9;14;15;16;18;194.2.1离散傅里叶变换（DFT）1．DFT的定义用计算机进行傅里叶变换运算时，要求（1）时、频域均为离散的；（2）时、频域的点数均为有限的。1、连续时间、连续频率——傅立叶变换(FT)2、连续时间、离散频率——傅立叶级数(FS)3、离散时间、连续频率——序列的傅立叶变换(DTFT)4、离散时间、离散频率——离散傅立叶级数(DFS)主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………N点DFT变换对x(n)的长度为M

2、点，N≥M【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解设变换区间N=4，则有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值一般是复数，可表示为直角坐标形式也可以表示为极坐标形式3.1.2DFT和DTFT，ZT，DFS的关系设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以X(k)满足同理可证明

3、x(n+mN)=x(n)(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，,则有主值区间，主值序列，周期延拓图3.1.2x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)3.1.4用MATLAB计算序列的DFT【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。%例3.1.2程序ep

4、312.m%DFT的MATLB计算xn=［1111］;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT%以下为绘图部分（省略，程序集中有）程序运行结果如图3.1.3所示。5．DFT的性质（1）线性时域频域（2）圆周移位（循环移位）若，称f(n)为x(n)的m点圆周移位序列。步骤：ⅱ）移位m点；ⅲ）取主值序列。ⅰ）将x(n)以N为周期周期延拓；图3.2.1x(n)及其循环移位过程若则且证明：令n+m=n′，则有：求和项以N为周期，因此对其在

5、任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得3.2.3循环卷积定理1．两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.5）yc(n)=h(n)x(n)L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…,L－1时，由x(n)形成的序列为:{x(0),x(1),…,x(L－1)}令n=0,m=0,1,…,L－1，(3.2.5)中x((n-m))L形成的循环倒相序列为令n=1,m=0,1,

6、…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为（3.2.6）上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M

7、h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为图3.2.2序列及其循环卷积波形2.循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为（3.2.8）则x(n)的N点DFT为其中N（3.2.9）证明直接对(3.2.8)式两边进行DFT，则有令n－m=n′，则有由于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，因此即循环卷积亦满足交换律。频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.10a)N3.2.4复共轭序列的DFT设x*

8、(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)且