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1、专题函数的周期性一知识点精讲1．周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则是周期函数，且周期为。3．几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）（1），则的周期．（2），则的周期．（3），则的周期．（4），则的周期．（5），则的周期．（6），则的周期数．（7
2、），则的周期．（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为．（9）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数．（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数是为周期的周期函数．（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．(12)，则的周期.二典例解析1．设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（）资料A．B
3、．C．D．3．已知在R上是奇函数满足，则4．已知定义在R上的奇函数满足，则=例5．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式。9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。附参考答案：：：：：y轴即：①y轴②：①②：C：②④：：方程的根为共9个根。2.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A．5B．
4、4C．3D．24.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=6.数列中7已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。资料8的定义域是R，且,若,求 的值。9．已知函数满足，若，试求(2005)。（2009山东理）10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】:由已知得,,,,,,,,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(
5、m>0)在区间上有四个不同的根,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以资料答案:-8（2009全国一）（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)是偶函
6、数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数解:与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D专题函数对称性一知识点精讲：I函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称II两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、与图象关于Y轴
7、对称2、与图象关于原点对称函数资料3、函数与图象关于X轴对称4、函数与其反函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称二典例解析：1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。解析：关于直线对称，，又是奇函数，，故有，,2、已知函数满足，则图象关于__________对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知图象关于对称3、函数与函数的图象关于关于__________对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于对称4、
8、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。解析：这是一个函数的对称性，的图象关于y轴即对称5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。解析：关于直线对称，是由向左平移一个
