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1、函数与导数解答题的错解分析易错点1:混淆“在某点的切线”与“过某点的切线”例1定义在实数集上的函数f(X)=x2+x,g(xx3-2x+m.(1)过点(1，1)作函数f(X)的图像的切线，求切线的方程.(2)若f(x)(x)对任意的x£[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围.难度系数0.65错解(1)由f(x)=x2+x，可知当x=l时，f(1)=2....f(x)=2x+l,则f'(1)=3，.•.所求切线的方程为y-2=3(x_l)，即3x_y_l=0.错因上述错解错在学生没有正确理解题目的含义，过点(1，1)作函数f(x)的图像的
2、切线，其中点(1，1)并不在曲线上，而错解中误将点(1，1)当成切点求解导数来确定函数的斜率.正解(1)据题意可知，曲线的方程为f(x)=x2+x，且点(1，1)不在该曲线上.设切点为M(x0，y0),则点M的坐标满足y0=x20+x0.由于f'(x0)=2x0+l，所以切线的方程为y_y0=(2x0+l)(x-x0)，即y-(x20+x0)=(2x0+1)(x~x0).由点(1，1)在切线上，可知1-(x20+x0)=(2x0+1)(1-xO)，化简上式得x20-2x0二0,解得x0=0或x0二2.故切点为M(0,0)或M(2,6)，
3、切线的方程为5x-y-4=0y=x.(2)实数m的取值范围是(-…，].(解答过程省略)小结在解决此类问题时，学生一定要分清“在某点的切线”与“过某点的切线”的问法.“在某点处的切线”的这个点就是切点，直接求导即可，而解决”过某点的切线”问题，一般是设出切点的坐标为(x0,y0),然后求其切线的斜率k=f'(x0)，写出其切线的方程.学生对“在某点的切线”与“过某点的切线”易区别不清，从而陷入误区，实际上两者貌似而质异.易错点2:混淆“？祸X，g(x)<f(x)”与“？盆X，g(X)<；f(X)的转化例2已知函数f(x)=ax
4、+lnx，函数g(x)的导数g'(x)=ex，且g(0)g'(1)=e,e为自然对数的底数.(1)求f(x)的极值.(2)是否？祸xE(0,+°°),使得不等式g(x)<；成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)当a=0时，对于？盆xG(0，+°°)，求证：f(x)<；g(x)-2.难度系数0.60错解(2)./g'(x)=ex，...g(x)=ex+c.•••g(0)(1)=e，•••(1+c)e=e，解得c二0,于是可知g(x)=ex.•••?蜗xe(0，+°°),使得不等式g(x)<；成立，••
5、•?蜗xE(0,+°°),使得m<x-ex+3成立.令h(x)=x-ex+3，则原问题转化为m<hmin(x).由h(x)=x—ex+3，xE(0，+°°)，可知h'(x)=l~ex(+).当xG(0，+°°)时，•••ex>l，+•=，•••ex(+)>；1.•••h,(x)<0,从而可知函数h(x)在(0，+°°)上为减函数./.h(x)=x-ex+3无最小值.故不存在这样的m.错因本题的第(2)问求解出现错误的原因在于，题目中的已知条件说的是“？埚xe(0,+°o),使得不等式g(x)<；成立”，所
6、以在分离常数m与构造函数后，得到m小于h(x)的最大值即可，并不需要m小于h(x)的最小值.对于“？盆xE(0,+<-)，使得不等式g(x)<；成立”应该转化成需要m小于h(x)的最小值.正解(1)当a彡0时，函数f(x)没有极值；当a<0时，函数f(X)存在极大值，且当X二-时，f极大(X)二f(-)=ln(-)-1.(2)•/g7(x)=ex，...g(x)=ex+c.•••g(0)g'(1)=e，•••(1+c)e=e,解得c=0,于是可知g(x)=ex.•/?祸xE(0，+°°),使得不等式g(x)<；成立，•••
7、?蜗xE(0,+°°),使得m<x-ex+3成立.令h(x)=x~ex+3，则原问题转化为m<；hmax(x).由h(x)=x—ex+3，xE(0，+°°)，可知h'(x)=1—ex当xE(0，+°°)时，Vex>；1,+••••ex(+)>；1.•••h,(x)<；0,从而可知函数h(x)在(0，+°°)上为减函数./.h(x)<h(0)=3.故满足条件的m存在，且m的取值范围是(1)(证明过程省略)小结不等式恒成立与不等式能成立问题的常见转化策略如下：①a〉f(x)恒成立？圳a〉fmax(x)，ag(x)
8、+k恒成立？圳kg(x)恒成立？圳fmin(x)>gmax(x);④a〉f(x)能成立？圳a〉fmin(x)，a〈f(x)能成立？圳a
