数学思想方法在中学物理解题中的应用

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1、数学思想方法在中学物理解题中的应用笔者试以几道相关试题，就数学思想方法在中学物理解题中的初步应用，谈谈自己一些的认识和看法.类型一函数与方程案例如图1所示，光滑绝缘的水平面厶端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，最高点C与该半圆的圆心在同一竖直线上，竖直线的左侧区域有水平向左的匀强电场，在离B水平距离为x的A点，有一带电量为-q、质量为m的小滑块从静止开始释放，小滑块沿半圆轨道运动到c处后立即撤去左边的匀强电场，结果小滑块正好落回A点（小滑块可以视为质点），试求：（1）小滑块从A运动到B的过程中电场

2、力做的功.（2）x为何值时，完成上述运动电场力做的功最少？并求出最小的功.（3）x为何值时，完成上述运动所选用的水平向左的匀强电场的电场强度最小？并求出最小的电场强度.解析（1）对小滑块从A运动到C的过程中，由动能定理得WF-2mgR=12mv2C（1）小滑块从C点做平抛运动，根据题意得2R:12gt2（2）x=vCt（3）联立（1）、（2）、（3）式，可以解得Wf=mgx28R+2mgR.(2)由WF=12mv2C+2mgR可知，当vC最小时，WF取最小值，则mg=mv2CR（4）联立（2）、（3）、（

3、4）式，可以得到x=2R.综述，当x=2R时，WF取最小值，即WF=52mgR.（3）根据题意，可得E>mgx8Rq+2mgRqx=mgq（x8R+2Rx）.由均值不等成得：当且仅当x8R=2Rx时，即x=4R，E取最小值mgq.点评此题第三问考查了如何利用均值不等式求极值的思想方法.具体表现为：根据表达式可以得知，a+b2彡ab（a、b均为大于0），当且仪当a=b时，a+b2取最小值ab.这种思想方法经常在物理解题中得到应用，一般多用于求解运动的距离X、作用力F等一些基本物理量，解题的突破口就在子需耍将

4、所求物理量的表达式正确的推导出来，再根椐均值不等式的相关知识进行求解.类型二分类讨论案例如图所示，BCD力竖直平面内的光滑绝缘轨道，其屮BC段水平，CD段为半圆形轨道，轨道的连接处均光滑，整个轨道处于竖直向下的匀强电场屮，场强大小E=2mgq.质量为M的光滑的曲面静止在水平面上，底端与水平面相切，一带电量为+q的金属小球甲，从距离地面高为H的A点由静止开始沿曲面滑下，与静止在C点的不带电的金属小球乙发生弹性碰撞.己知甲、乙两球完全相同，质量均为m，且M=2m，g取10m/s2，（水平轨道足够长，甲、乙两球

5、可视为质点，不考虑它们之间的静电力，并且整个运动过程两小球与轨道间无电荷转移）.试求：（1）甲球滑到曲面底端时的速度大小；（2）在满足（1）的条件下，如果要使两球碰撞后，乙球不脱离半圆形轨道，则半圆形轨道的半径R应该满足什么条件?解析(1)设甲球滑到木块底端时的速度为Vl,圆弧形木块的速度v2,将甲球和木块看做系统，根据题意可知，系统在水平方向上动量守恒，选取vl的方向为正方向，则mvl-Mv2=0(1)对系统再根据动能定理，可以得到EqH+mgH=12mv21+12Mv22(2)再根据题目中给出的条件，

6、即M=2m，E=2mgq(3)联立(1)、(2)、(3)式，可以解得vl=2gH(4)(2)由于甲、乙两球发生弹性碰撞，且质量相等，故碰撞后甲乙两球交换速度.当甲、乙两球在碰撞过程屮，除了交换速度，电荷也会发生转移，实现平均分配，即q甲叫乙=12q(5)若要乙球不离开轨道，则乙球的运动存在两种情况讨论：第一种情况：乙球可以到达半圆形轨道的最高点D，设乙球过半圆形轨道最高点D的速度为v3,根据题意可得：在最高点D应满足E?q2+mg^mv23R(6)乙球从C点运动到D点的过程中，根据动能定理可知-(E?q2

7、+mg)?2R=12mv23_12mv21(7)联立(4)〜(7)式，可以解得RS25H(8)第二种情况：乙球只能到达与半圆形轨道的圆心等高点或更低的位置，然后沿原轨道返回，根据题意可得:乙球从C点运动到圆心等高点的过程中，功能关系应满足(E?Q2+mg)?R彡12mv21(9)联立(4)、(5)、(9)式，可以解得R彡H(10)点评此题的第二问考查了如何利用分类讨论进行求解的思想方法.这道例题屮提出怎样可以使小球在运动屮不脱离轨道，其实，结果存在两种可能性.因此，需要分类讨论，逐一分析，最后综合求解，这

8、也体现了“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.这种数学思想方法在近年来的各类试题中出现频率较高，破题的关键就在于要具备清晰的思路，严谨的思维和周全的考虑，能认识到要解决的问题是什么，能通过分析发现当我们不能使用统一的标准来解决问题时，就需要分情况逐一讨论，使问题得以解决.