13.3灰混合策略的性质及其灰线性规划模型.doc

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1、13.3灰混合策略的性质及其灰线性规划模型一、灰混合策略的性质定理13.3.1设灰矩阵博弈满足:,其中k为任意常数,则的博弈值之间的关系满足式13.3.1.(13.3.1)且为的灰鞍点当且仅当为的灰鞍点.证明:(1)证明式13.3.1成立.由最大最小灰博弈值定理可知，有(13.3.2)(2)的证明从略.定理13.3.2(1)设为灰矩阵博弈的博弈值,则为局中人1的最优灰混合策略的充要条件是:成立;(2)设为灰矩阵博弈的博弈值,则为局中人2的最优灰混合策略的充要条件是:成立.证明:(1)设为局中人1的最优灰混合策略,由最大最小灰博弈值定理可知，存

2、在局中人2的最优灰混合策略,使成立,即成立.反之,设满足,成立.由最大最小灰博弈值定理,存在使于是:从而:对成立,即是局中人1的最优灰混合策略.(2)同理可以证得:若为灰矩阵博弈的博弈值,则为局中人2的最优灰混合策略的充要条件是:成立.定理13.3.3设是灰矩阵博弈的灰鞍点,则,(13.3.3)其中:是中第个分量为1的单位向量,是中第个分量等于1的单位向量.证明:由定理13.3.2得,对所有的,,有:,于是从而这一矛盾表明,必有:同理可证:.二、灰矩阵博弈的灰线性规划模型定理13.3.1,13.3.2和13.3.3提供了求解局中人最优灰混合策

3、略的灰线性规划方法.在此基础上,可以构建灰矩阵博弈的灰线性规划模型.定理13.3.4任给灰矩阵博弈,若是该灰矩阵博弈的最优灰混合策略,则可以通过解一个灰线性规划问题求出.证明:不失一般性,不妨设灰矩阵博弈,其中:.先求局中人1的最优灰混合策略.由定理13.3.1,可设的灰博弈值.不等式组:(13.3.4)的解为局中人1的最优策略.作变换:.不等式组13.3.4可变换为:(13.3.5)其中:于是求局中人1的最优灰混合策略可化为求解下列线性规划问题(见式13.3.6).(13.3.6)类似地,求局中人2的最优灰混合策略可化为求解下列灰线性规划问

4、题,见式13.3.7.(13.4.7)定理13.3.4的证明是构造性的,根据定理13.3.4,可以将任一灰矩阵博弈的最优灰混合策略的求解问题转化为一个灰线性规划问题.