代数结构非作业部分的课后习题答案

《代数结构非作业部分的课后习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、.第四章代数结构P86：8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；同理可证b*c=c*b和c*d=d*c；a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a)=(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a同理可证b*d；a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a综三所证，对任意x,yÎA，都有x*y=y*x成立，故*是可交换运算。10、(Z＋,×)，其中Z+为正整数集，×为普通乘法运算，幺元为1。×运算在Z+上封闭，×运算可结合、可交换。除幺元1外，代

2、数系统(Z＋,×)中每个元素都没有逆元。11、证明：由于Äk可交换，故只需证明：任选a,b,cÎNk，都有：=和=成立===(因为为整数)===-..=(因为是整数)===又由是可交换运算可知:===故对可分配.P87：14、(A,*)到(A,)的同构映射f为：f(e)=e，f(b)=c,f(a)=a,f(c)=b；或者f(e)=e，f(b)=c,f(a)=b,f(c)=a；15.(N5,Å5)的所有自同构映射为f1、f2、f3和f4，其中f1(k)=k,kÎN5；f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2

3、，f2(4)=4；f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2；f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；16、(N5,Ä5)的所有自同构映射为f1和f2，其中f1(k)=k,kÎN5；f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；17、由f的定义可知：f(a)=(a(mod3))＝，故f(aÅ6b)=f()==-..==f(a)Å3f(b)=()Å3()=====f(aÅ6b)19、不妨设q为（A,*）的零元，假设f(q

4、)=q’，下面证明q’是代数系统(B,Ä)的零元。任选bÎB，由f是满同态可知：存在aÎA，使得f(a)=b.故，q’Äb=f(q)Äf(a)=f(q*a)=f(a)=b；而且，bÄq’=f(a)Äf(q)=f(a*q)=f(a)=b;因此，q’为代数系统(B,Ä)的零元。结论得证。20、(N4,Å4)的所有自同态映射为：f1(k)=k,kÎN4；f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1；f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2；f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(

5、3)=0；P96:1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不满足结合律。(2)是半群。2、(1)和(2)为独异点。(3)和(4)不是独异点，因为没有幺元。4、（{0,2,4},Ä4）是不含幺元的有限半群。5、({0,2,4,6},Å8),({0,4},Å8)是(N8,Å8)的两个子半群。-..6、(N4,Å4)的所有子独异点为：(N4,Å4),({0},Å4),({0,2},Å4)。8、({1,4,6},Ä10),({1,2,4,6,8},Ä10),({1,2,4,5,6,8,9},Ä10),({1,2,3,4,5,6,7,8

6、,9},Ä10)9、0Ä62=2Ä60=0ÎA;0Ä64=4Ä60=0ÎA;2Ä64=4Ä62=2ÎA;2Ä62=4ÎA;4Ä64=4ÎA;0Ä60=0ÎA;因此，Ä6在A上封闭并且4为(A,Ä6)中的幺元。显然，由(N6,Ä6)是独异点可知：Ä6可结合。故(A,Ä6)是独异点，但由于(N6,Ä6)的幺元为1，与(A,Ä6)的幺元不同，故(A,Ä6)不是(N6,Ä6)的子独异点。10、满足条件的同态映射f为：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。P105：12、证明:不妨设e是(G

7、,*)的幺元。因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e；故b-1*a-1是a*b的逆元。由题目条件可知：a-1*b-1也是a*b的逆元。故b-1*a-1=a-1*b-1。进而(a*b)*(a-1*b-1)=e而(b*a)*(a-1*b-1)=b*(a*a-1)*b-1=e；故(a*b)*(a-1*b-1)=(b*a)*(a-1*b-1),右乘(b*a)可得：a*b=b*a。14、(a*b)4=(a*b)2*(a*b)2=b2*a2*b2*a2；而由条件，(a*b)4=b4*a4；故b4*a

8、4=b2*a2*b2*a2；上式左乘(b2)-1和右乘(a2)-1,故b2*a2=a2*b2；而由题目条件，可知：(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a2*b2；即(a*b)*(a*b)=a2*b2；将上式左乘a-1和右乘b-1，可得：b*a=a*b；故(G,*)是交换群。