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1、参数估计习题与习题解答6.11．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试,得到如下数据(单位:h):1050,1100,1130,1040,1250,1300,1200,1080试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计.解：样本均值样本标准差因此,元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.05622．设总体,现从该总体中抽取容量为10的样本,样本值为0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.8,1.5,2.0,1.6试对参数给出矩估计.解：由于E(X)=,即=2E(X),而样本均值=1.34,故的矩
2、估计为3．设总体分布列如下,是样本,试求未知参数的矩估计解：(1)总体均值E(X)=,解之可得N=2E(X)+1故N的矩估计量,其中为样本均值,若不是整数,可取大于的最小整数代替(2)总体均值E(X)=,由于,故有E(X),即,从而参数的q矩估计为4．设总体密度函数如下,是样本,试求未知参数的矩估计解：(1)总体均值E(X)=,即即,故参数的矩估计为(2)总体均值E(X)==,所以,从而参数的矩估计(3)由E(X)==可得,由此,参数的矩估计(4)先计算总体均值与方差E(X)==+====++=Var(X)==由此可以推出,从而参数的矩估
3、计为5．设总体为,先对该总体观测n次,发现有k次观测为正,使用频率替换方法求的矩估计.解：由题意知,观测为正的频率f=,下面计算观测值为正的概率.当总体为N()时,P(X>0)=1-P(X<0)=1-P(X-<-)=其中为标准正态分布的分布函数.利用频率替换概率的方法有,这给出参数的矩估计为譬如,若设=0.281,则由上式知是标准正态分布的分布的0.281分位数,查表得=-0.586．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对,校完后,甲发现a个错字,乙发现b个错字,其中共同发现的错字有c个,试用矩法给出如下两个未知参数的估计：（1
4、）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数.解(1)设该书样稿中总错字的个数为,甲校对员识别出错字的概率为,乙校对员识别出错字的概率为,由于甲,乙是彼此独立地进行校对,则同一错字能被识别的概率为,根据频率替换思想有由独立性可得矩法方程,解之得.(2)未被发现的错字估计等于总错字数的估计减去甲,乙发现的错字数,即譬如,若设a=120,b=124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩法估计,而未被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.7．设总体概率函数如下,是样本,试求未知参数得最大似然估计.(1)(2)已知,>1
5、解(1)似然函数为,其对数似然函数为将关于求导并令其为0即得到似然方程解之得由于所以是q的最大似然估计.(2)似然函数为,其对数似然函数为解之可得由于,这说明是的最大似然估计.8．设总体概率函数如下,是样本,试求未知参数的最大似然估计.(1)已知；(2(3)解：(1)样本的似然函数为要使达到最大,首先示性函数应为1,其次是尽可能大.由于c>0,故是的单调增函数,所以q的取值应尽可能大,但示性函数的存在决定了q的取值不能大于,由此给出的最大似然估计为(2)此处的似然函数为其对数似然函数为由于所以,是的单调增函数,要使其最大,的取值应该尽可能
6、的大,由于限制,这给出的最大似然估计为.将关于求导并令其为0得到关于的似然方程,解之得.(3)似然函数为.由于是关于的单调递减函数,要使达到最大,应尽可能小,但由限制可以得到,这说明不能小于,因而的最大似然估计为.9．设总体概率函数如下,是样本,试求未知参数的最大似然估计.(1)；(2)；(3).解：(1)不难写出似然函数为.对数似然函数为.将之关于求导并令其为0得到似然方程,解之可得.而：,故是的最大似然估计(2)此处的似然函数为.它只有两个取值：0和1,为使得似然函数取1,的取值范围应是,因而的最大似然估计可取中的任意值.(3)由条件
7、,似然函数为.要使尽量大,首先示性函数应为1,这说明；其次要尽量小,综上可知,的最大似然估计应为,的最大似然估计应为10．一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数.假设这100次观察相互独立,求这地区石子中石灰石的比例的最大似然估计.该地质学家所得的数据如下样本中的石子数012345678910样品个数016723262112310解：本题中,总体X为样品中石灰石的个数,且X服从参数为的二项分布,即又设为样本,则其似然函数为(忽略常数),对数似然函数
8、为将对数似然函数关于求导并令其为0得到似然方程解之得由于由二阶导数的性质知,p的最大似然估计为11.在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样,其总体概率函数为若已知,是样本,试求p的最大似然估
