泰勒公式的余项及其应用论

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1、题目泰勒公式的余项及其应用摘要0Abstract01引言12带积带皮亚诺余项的泰勒公式及其的应用12.1带皮亚诺余项的泰勒公式12.2带皮亚诺余项的泰勒公式的应用13带积分型余项的泰勒公式及其应用43.1带积分型余项的泰勒公式43.2带积分型余项泰勒公式的应用44带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用54.1带拉格朗日余项的泰勒公式54.2带有拉格朗日余项的泰勒公式的应用5结束语6参考文献7致谢8摘要：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.但

2、一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难.本文主要介绍了泰勒公式的一些基本内容，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目.给出了带皮亚诺型、拉格朗日型、积分型余项的泰勒公式.并分别例举这几种类型的泰勒公式在求极限、估计无穷小(大)量的阶、命题证明、定积分计算、近似计算中重要作用.关键词：泰勒公式；皮亚诺型余项；拉格朗日余项；积分型诺型余项；应用Abstract:Taylor'sformulaisaveryimportantmathematicscontent,itsai

3、dsomeofthecomplexfunctionapproximationtoasimplepolynomialfunction,whichsimplifythefunctionofanalysisandresearchtomakeitapowerfulleverforothermathematicalproblems.butgenerallyonlythehighnumberofteachingdescribeshowtostartthefunctionwiththeTaylorformula,whiletheTaylorformulaap

4、proachdoesnotin-depthdiscussions,studentsintheteachingprocessfromtheoftendifficultforlearningtouse.ThispaperdescribessomeofthebasiccontentofTaylor'sformula,usedinsomeofthetopicsintheTaylorformulatoachieverapidproblem-solvingprojects.PresentedwithaRenzoPiano-based,Lagrangiant

5、ype,IntegralTaylorformula.AndwereThesetypesofexamplesintheLimitoftheTaylorformula,itisestimatedinfinitelysmall(large)amountoftheorder,thepropositionshowsthattocalculatetheapproximatecalculationanimportantrole.Keywords:Taylorformula;Peano-typeremainder;Lagrangeremainder;Conna

6、ughtTyperemainderintegral;Application.1引言泰勒公式的知识可用于解决很多问题，它是研究代数、几何等问题的重要工具.同时泰勒公式在定积分的计算、求近似值、求极限、判断敛散性、估计无穷（小）大量的阶、命题证明等许多方面扮演着很重要的角色.如文[4]中介绍了带拉格朗日型余项的泰勒公式在求近似值中的应用.再如文[2]中带皮亚诺型余项的泰勒公式在判别极值方面的应用等等.从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间是可以转换的，但是不同的余

7、项在解决不同的类型的问题时都有各自的优点.本文主要研究了带积分型、带拉格朗日型.带皮亚诺型的泰勒公式及其应用，针对大多同学反映Taylor公式难以理解和掌握,继而产生遇Taylor公式焦虑的现象，本文通过对Taylor公式不同余项的应用归纳、总结，不仅可以帮助学生理解、应用公式及其余项,提高教学效果,同时对学生创新能力的培养也有一定的积极意义。2带积带皮亚诺余项的泰勒公式及其的应用2.1带皮亚诺余项的泰勒公式定理[1]设函数在点处具有阶导数，则有，其中称为Peano型余项.注该定理说明当时用泰勒多项式近似取代时，其误差是比高阶的无穷小.2.2带

8、皮亚诺余项的泰勒公式的应用带Peano余项的泰勒公式，因为其Peano余项只是给出其误差的定性描述，而不是定量计算，于是很多人认为它作用不大，其实它在