线性方程组有解的判别定理3456

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1、.非齐次线性方程组同解的讨论摘要本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.关键词非齐次线性方程组同解陪集零空间引言无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。下面是一个

2、非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出令A=，b=。即非齐次线性方程组可写成。一、线性方程组同解的性质引理1如果非齐次线性方程组与同解，则矩阵与的秩相等.证明设非齐次线性方程组的导出组的基础解系为，其中为矩阵的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d的导出组的基础解系为，其中为矩阵的秩，如果是非齐次线性方程组Ax=b与Bx=d特解，由于这两个方程组同解，所以向量组与向量组等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有则矩阵与的秩相等.引理设A、B为矩阵，则齐次线性方程组与同解的充要条件是存在可逆矩阵使得.....证明充分性显然成立。必要性设与的同解空间为V

3、，由文献[2]得A的行向量与B的行向量生成的子空间相同,都是V的正交补空间.所以A的行向量与B的行向量可相互线性表出,即存在矩阵C,使得且秩A=秩B.即存在可逆矩阵P使得.引理3设A、B为矩阵，则非齐次线性方程组与有解且同解，则它们的导出组与同解。证明设为的解，为的一个特解。则由非齐次线性方程组与同解及线性方程组的性质可知为的一个特解，为与的解。所以是的解。反之设为的解，同样可以证明，为的解。所以与同解。由引理2与引理3可以得到下面的定理：定理1设A、B为矩阵，则非齐次线性方程组与都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵使得，。证明充分性显然成立。必要性设与

4、同解，由引理3得，与同解。又由引理2可知存在可逆矩阵使得.设为与的解。即从而所以结论成立。如果我们把上面的结论加以改进便得到更一般的结论：情况1设非齐次线性方程组和（1）式中A、B都为矩阵，b与d为m维列向量，为维列向量。定理非齐次线性方程组和同解的充分必要条件是存在可逆矩阵使得（2）证明充分性如果存在可逆矩阵使得（2）式成立，则对的任意解，有....所以故是的一个解。反之对的任意解，把（2）式改写为（3）同理可证，是的一个解。所以和同解。必要性因为和同解，则，从而（4）通过行初等变换，总可以求出与的行向量组的线性无关极大组。即存在可逆矩阵与使得式中的行向量分

5、别是的行向量的线性无关极大组。这里记为矩阵的行向量生成的向量空间。由式（4）及与的构造知与的行向量分别构成的一个基底。故存在可逆矩阵C使得令....式中为单位阵。显然是可逆的，从而.记,那么是可逆的，且。把式（2）改写为便可得到用行初等变换来判断和是否同解的方法，若同解，那么可用如下的方法求出：在增广矩阵的左边写上单位矩阵，对进行行初等变换，当把化成时，便相应地化成，此时和同解。若化不成，则此方程组不同解。例1判别方程组与方程组是否同解？解=可见这两个方程组同解，且。....情况2设非齐次线性方程组和（5）式中A都为矩阵，为矩阵，b、d分别为m与维列向量，为维

6、列向量。由定理2的证明知存在可逆矩阵与使（6）式中与的行向量分别是的行向量的线性无关极大组。显然，仅当是同阶矩阵时，方程组（5）才有可能同解。定理3非齐次线性方程组（5）同解的充分必要条件是存在可逆矩阵使得.判定方程组（5）同解的步骤：第1步行初等变换分别求与行向量组的一个极大组所构成的矩阵与，如果与的行数不同，说明，则（5）式有不同解；第2步如果与的行数相同，对进行行初等变换。当化成，化成时，式（5）同解，若不能化成，则式（5）不同解。例2判别方程组（7）与方程组（8）是否同解？解记式（7）为容易由行初等变换得到记式（8）为由行初等变换得到....故可见与的

7、行数相同，进而故，且.因此式（7）与（8）为同解方程组。二、讨论扩充方程组与原方程组的同解在生产实际中，由于生产条件的变化，往往需要在原方程组中添加若干个线性方程，形成新的线性方程组，称它为原线性方程组的扩充线性方程组。定理1设分别为与矩阵，则齐次线性方程组（9）与齐次线性方程组（10）同解的充要条件是：存在矩阵，使得.证明充分性显然成立。必要性设齐次线性方程组（9）与(10)同解，则它们有共同的基础解系。设矩阵的秩为r，则齐次线性方程组（10）的基础解系中含个解向量。同样，设矩阵的秩为，则齐次线性方程组（10）的基础解系中含个解向量。由上述知，故，即矩阵的秩

8、与矩阵的秩相等。因此，矩阵....的行